Запорожец Издания
Сравнительно простое условие равенства градиента нулю. Если уравнение Пуассона решается при помоши итерационных методов (как в работе Азиза и Хеллумса [1967]), то, как показывает опыт расчетов в плоском случае, для решения трех уравнений Vif = -? с некоторыми условиями Дирихле потребуется меньше времени, чем для решения одного уравнения VP = Sp с условиями Неймана на всех границах. Если же применяются прямые методы (что более вероятно), то для написания программы для (oj), t)-системы потребуется меньше времени, поскольку граничные условия в этом случае проше, но время решения уравнений Пуассона в случае (V,P) системы будет ио-види-мому, меньше. Кроме того, в памяти ЭВМ необходимо хранить только, четыре трехмерных массива в случае (V, Р)-системы и шесть таких массивов в случае (ajj, g)-системы. Значит, если для решения уравнения Пуассона в трехмерном случае применяются прямые методы, то предпочтение следует отдать (V, Р)-системе. Преимушество (V, Р)-системы еше больше увеличилось бы, если бы для ее решения удалось разработать неявные методы. В то же время Азиз и Хеллумс [1967] иродемонстрировали возможности (ijj, g)-системы в случае иространственных течений, рассчитав довольно большую задачу (11X11X11) на вычислительной машине средней мошности. Вместо решения трех уравнений Пуассона для векторного потенциала можно решать три уравнения Пуассона для составляюших скорости. Эти уравнения легко вывести из уравнения неразрывности V-V = 0 с учетом определения вихря g = = V X V. Уравнение можно записать в векторной форме или в скалярной форме у2у = V X ? (3.626а) " = -1- (3-6266) "---dl (3-626В) - = -- (3-626Г) Фасел [1975] использовал систему (3.626) для исследования устойчивости течения в пограничном слое в плоском случае; оказалось, что для системы двух уравнений Пуассона для скоростей и и V, которая имеет более высокий порядок, чем дифференциальное уравнение для функции тока, можно ставить менее жесткие вычислительные граничные условия. В случае иространственного .течения граничные условия для составляющих скорости ставятся неносредственно (в отличие от уравнений (3.623) для составляющих векторной функции tf). Известно, что сохранение массы (объема) может нарушаться даже в плоском случае. При решении уравнения = t, гарантируется, что уравнение неразрывности для составляющих скорости в дискретной форме будет выполняться тождественно (см. упражнение ниже), в то время как при решении системы уравнений (3.626) такой гарантии нет. Упражнение. Показать, что в п.тоском случае при определении составляющих скорости « и о через функцию тока ф при помощи центральных разностей гарантируется тождественное выполнение уравнения " 4- = 0 (3.627) Ьх 6у независимо от точности решения для ф. Глава 4 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Эта глава начинается с краткого обсуждения вычислительных проблем, присущих течениям сжимаемой жидкости. Затем даются основные уравнения движения в их традиционном виде и их вывод в консервативной форме, а также дополнительные соотношения (уравнение состояния и т.д.). Полученные в консервативной форме уравнения приводятся к безразмерному виду; обсуждаются различные варианты выбора безразмерных переменных. Выписывается общеупотребительная сокращенная «векторная» форма уравнений. В конце главы с математической и физической точек зрения обсуждается существование ударных волн. 4.1. Основные трудности в задаче о двумерном течении совершенного газа имеется четыре зависимые переменные: две составляющие скорости и две термодинамические величины. В случае несжимаемой жидкости при решении уравнения количества движения и уравнения неразрывности не требуется привлекать уравнения энергии для исключения одной термодинамической величины - температуры. Здесь давление можно исключить перекрестным дифференцированием и ввести вихрь. Затем обе составляющие скорости исключаются за счет введения функции тока, и в итоге остаются два уравнения (параболическое и эллиптическое) для двух искомых функций - вихря и функции тока. В случае же течения сжимаемой жидкости уравнение энергии необходимо для решения остальных уравнений, а функция тока в нестационарном случае не определяется. Здесь приходится иметь дело с системой четырех дифференциальных уравнений в частных производных ). ) Если предположить, что коэффициенты переноса и удельные теплоемкости постоянны, то уравнения удобно записать через вихрь и энтропию, как это сделано в работе Цянь Сюэ-сеня [1958]. Далее, для более ограниченного класса задач (без учета вязкости или теплопроводности и при отсутствии ударных волн) можно считать энтропию постоянной, что ведет к исключению одной искомой функции. Однако этот подход не использовался широко при численном решении задач газовой динамики. Согласно другому подходу, развитому в работе Гольдина с соавторами [1969], уравнение энергии, включающее члены с тенлонроводностью, заменяют уравнением переноса энтропии и таким образом жертвуют сохранением энергии для сохранения энтропии. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [ 100 ] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|