Запорожец Издания
) Это справедливо также для любого метода, в котором применяется схема с конечными разностями против потока. ные осцилляции величин в ячейках. Эти осцилляции моделируют поведение молекул газа, но при очень малом количестве «вычислительных молекул». В обоих рассмотренных методах для анпроксимации конвективных членов используется схема с донорными ячейками (вторая схема с разностями против потока) и, следовательно, в обоих методах имеется схемная искусственная вязкость (см. разд. 5.5.1, 5.5.2). Джентри, Мартин и Дали [1966] указали, что наличие в обоих методах искусственной вязкости q \и\ означает иеииварнантность искусственной вязкости относительно иреобразовання Галилея, т. е. невозможность использования в этих методах преобразования, состоящего в обращении потока). Кроме того, как отметили Эванс и Харлоу [1958, 1959], а также Лонгли [I960], без введения явной искусственной вязкости метод будет локально неустойчив в точках торможения потока, так как здесь схемная вязкость •~- « стремится к нулю; см. также формулу (5.25) и далее. В исходных работах оба метода были записаны как в декартовых, так и в цилиндрических координатах. Метод частиц в ячейках становится наиболее эффективным при решении задач с поверхностями раздела (свободные поверхности и многокомпонентные среды), поскольку отдельным частицам можно приписать различные массы, удельные теплоемкости и т. д. в целях моделирования двухжидкостной среды, свободной поверхности жидкости и даже границы жидкости с деформируемым телом. За годы успешных приложений этого метода постепенно разрешались вопросы, связанные с пустыми ячейками, граничными условиями, деталями процедуры осреднения параметров частиц (Эванс и Харлоу [1957, 1958, 1959], Эванс с соавторами [1962], Харлоу [1963, 1964]). Обзор этих методов был сделан Амсденом [1966]. Мадер [1964] в разработанном им методе взрыва в ячейках (метод EIC) обобщил данный подход, рассмотрев течение с химическими реакциями, Хёрт [1965] также по методу частиц в ячейках проводил расчеты детонационной ударной волны при взрыве. Дикмен с соавторами [1969], а также Морс и Нилсон [1971] при помощи метода частиц в ячейках рассчитывали неустойчивость плазмы. Армстронг и Нилсон [1970], рассматривавшие нелинейное развитие сильной двухпотоковой неустойчивости в плазме, продемонстрировали хорошее согласование результатов нестационарного расчета по методу частиц в ячейках и расчета по методу интегральных преобразований. Точность рассматриваемого подхода была также продемонстрирована с иГ = и?-А/ ; (5.31) он заменил (в правой части этого уравнения) величину (/" ее средним по пространственной переменной значением на п-м слое но времени: t/r = jay?+i + t/?-i)-A/- (5.32) ) Обычно эта схема называется схемой Лакса. Впервые она была опубликована в открытой литературе в работе Куранта с соавторами [1952] (в подстрочном примечании) и названа там схемой Келлера н Лакса. Рихтмайер [1963] в связи с этой схемой упоминает также Фрндрнхса. помощью некоторых алгоритмов тина метода частиц в ячейках для многокомпонентных сред, разработанных в Physics International Company (Бакингем и др. [1970], Уотсон и Годфри [1967], Уотсон [1969]). Амсден и Харлоу [1965] рассчитали крупномасштабные характеристики сверхзвукового турбулентного течения в донной области. Крейн [1968] пытался точно рассчитать гиперзвуковое течение о ближнем следе за телом, применяя метод частиц в ячейках к уравнениям для певязкого газа; однако этот метод не подходит к подобной задаче, и поэтому расчет окончился неудачей. Точность метода жидкости в ячейках независимо подтвердили Гурурая и Деккер [1970] на расчетах сложных двумерных задач о распространении ударных волн и Сатофука [1971] на расчетах двумерных плоских и осесимметричных задач о течении в ударной трубе. Алгоритм тина метода FLIC под названием TOIL был разработан Джонсоном [1967]; см. также работы Хилла и Ларсена [1970] и Рейнольдса [1970]. Ссылки на другие работы с расчетами но методам PIC и FLIC, выполненными в Лос-Аламосской лаборатории, можно найти в работе Харлоу и Амсдена 11970а]. Батлер [1967] включил в алгоритмы методов PIC и FLIC учет вязкости и тенлоироводности и обнаружил, что при этом оба метода дают сопоставимые результаты. 5.5.4. Схема Лакса Эта схема) была опубликована Лаксом [1954] в его фундаментальной работе, посвященной консервативным уравнениям. Лаке в первую очередь интересовался законами сохранения и лишь во вторую очередь - конечно-разностными схемами. Для устойчивости расчета одномерного течения невязкого газа по уравнениям (4.66) при помощи схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным тина Эта простая и исторически важная схема обладает рядом поучительных свойств. Производные но пространственным переменным аппроксимируются здесь центральными разностями, что обеспечивает второй порядок точности, однако схема обладает диффузией (Рихтмайер [1963J называет ее диффузионной). Рассмотрим модельное уравнение (5.1) прн а=0; для него схема Лакса дает «r=j(«,+<-,)--g-;w. (5.33) Исследуем схему на устойчивость по методу Хёрта (см. разд. 3.1.5.в), проводя разложения в ряды Тейлора: 1 ди 2 dt
Ах+ О {Ах) О {Ах) , (5.34) (5.35) С учетом соотношения ди д ( ...ди \ ~ д Г ди \ ~2 ди (5.36) получаем ди dt - ди Из этого нестационарного анализа видно, что в схеме Лакса вводится эффективный коэффициент пскусственпой диффузии иЫ л (Ах м 2 Ах Ш (5.38) (5.39) Как обычно, для устойчивости расчета по модельному уравнению требуется, чтобы Ке О или С 1. При С = 1 получается точное решение модельного уравнения Поскольку схема ириме-няется ко всем иеременным t/= (р, рн, f), искусственная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 [ 116 ] 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|