Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

о -14 +£

Рис. 3.7. Асимптотическое распространение единичного возмущения е в точке i для уравнения диффузии, решаемого по схеме с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственным переменным, а - начальное возмущение; б - возмущение после одного шага по времени, d = ViJ в - возмущение после очень большого числа шагов по времени.

вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, получаем

?»+i==e-f d(-e-8-28) = 8(l -4d). (3.69) Требование устойчивости

?Г7е<1 (3.70)

дает

-1<1-4й;<1, (3.71)

u;<V2. (3.72)

Для последующих временных слоев условие (3.72) не меняется. Таким образом, это условие для больших значений времени эквивалентно условию (3.64) - условию отсутствия осцилляции, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени, в случае изолированного возмущения.

Из формулы (3.60) следует, что при фиксированном шаге пространственной сетки и фиксированном а условие d Vs накладывает ограничение на шаг по времени:

Д<{. (3.73)

единичное возмущение в в точке i асимптотически стремится к осциллирующему распределению t,i= ±е., где е -некоторое возмущение меньшей амплитуды, как показано на рис. 3.7.

Таким образом, видно, что наиболее ограничительное условие для d появляется при таком типе распределения возмущений; начиная расчет с таким осциллирующим возмущением е, наложенным на С = О, и применяя схему (3.18) с разностями



Отметим, что ограничение, накладываемое условием (3.73), является тяжелым в смысле затраты времени для численного решения уравнения диффузии. Предположим, что расчет ведется с некоторым пространственным шагом Лх; до некоторого безразмерного времени T~Ni М[, где Д/i = /г А.х]/а- максимально возможный шаг по времени. Если желательно повторить расчет с вдвое меньшим пространственным шагом Ахг = Axi/2 (например, для того, чтобы проконтролировать уменьшение ошибок аппроксимации), то надо брать шаг по времени А1 = /г x\jo.= - "ДА/ь Значит, чтобы достигнуть того же значения безразмерного времени Г, потребуется вчетверо больше шагов по времени, т. е. T = N2At2 и N2 = 4Ni. Кроме того, для расчета каждого временного слоя потребуется вдвое больше времени, так как Ахг = Axi/2, а это означает, что число расчетных точек в исследуемой области возросло вдвое. Таким образом, для одномерного случая уменьшение вдвое шага пространственной сетки увеличивает затраты машинного времени в восемь раз!

В двумерной задаче) уменьшение вдвое шагов Ах и Ду увеличивает число расчетных точек в четыре раза, увеличивая тем самым необходимое машинное время в 16 раз. В трехмерной задаче диффузии уменьшение всех трех пространственных шагов вдвое увеличивает машинное время в 32 раза. В общем случае уменьшение размера шага с Axi до Дхг при решении D-мерной задачи диффузии с использованием явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным увеличивает машинное время в (Axi/Ax2)+° раз. Ясно, что методы, в которых удается избежать условия устойчивости (3.73), были бы весьма желательны.

В проведенных выше рассуждениях предположение о стационарности решения несущественно. Если из возмущенного уравнения вычесть полное невозмущенное нестационарное уравнение, то получится уравнение для роста ошибки

е?+ = d (е«, + е« , - 2е«) + е« (3.74)

с условием устойчивости e+/eJ 1 и т. д. Результаты в этом случае будут те же, что и выше.

Рассмотрим теперь уравнение (3.18) с Конвективным й диффузионным членами и без потери общности положим « > 0. (Если « < О, то изменится роль индексов J + 1 и J - 1.) Снова

1) В двумерных и трехмерных задачах ограничения на шаг по времени имеют вид МЧгА/а, где Л = 1/(Дл;-2-f и А = 1/(Ах- + Ау- +

-{ Дi~) соответственно.



2 Ах

£?+i + S? i-2(£? + 8)

(3.75)

Исследование этого уравнения не дает дополнительной информации по сравнению с предыдущим анализом уравнения с одним только диффузионным членом, так как на конвективных членах в точках j ± 1 не сказывается возмущение в точке 1. Применяя схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной и в точке получаем

+ 4р-К+2 + + е - 2С?,] + (3.76)

I1tl = + dt, (3.77)

где С = uAt/Ax - число Куранта), а d = aAt/Ax, как и ранее. Для устойчивости опять потребуем, чтобы

\mlM< (3.78)

-1<-§- + <1. (3.79)

Левое неравенство автоматически выполняется при « > 0. Правое неравенство (требование статической устойчивости) дает другое необходимое условие устойчивости:

иМ/Ах + 2аМ/Ах2,

<(2а/дА./Д.- (3.80)

Обратившись теперь к точке J - 1, получим

ед = --е + е, (3.81)

) в честь Рихарда Куранта (1888-1972), математика, работы которого в области численных методов и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных легли в основу современной вычислительной гидродинамики.

Применим схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, накладывая на 14 в точке i возмущение е, что даст



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199