Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

получаем

дК д ( dt, , д\\ у aw dt. , д% \

a7(-" + «)+«Ж(-"17 + «l)• . = ,,. 2»i + a»i. <3.,24,

Подставляя это выражение в (3.119) и преобразуя результат, получаем

dt dt, , ( иМ\ dl , d% аМ d*t, ,„ .„гч

Следуя Хёрту [1968], отбрасываем в уравнении (3.125) высшие производные и сохраняем первые и вторые производные по каждому независимому переменному {х и t), что дает полезное дифференциальное приближение. Оно имеет смысл по двум причинам. Во-первых, производные высших порядков обычно меньше. Во-вторых, а posteriori известно, что условие устойчивости, полученное в рехультате этого анализа, будет сильнее ограничения, накладываемого на шаг по времени при наличии только диффузионного члена, лишь для течений с малой вязкостью, т. е. для а <С и, когда коэффициенты при высших производных в уравнении (3.125) становятся малыми. В результате получается дифференциальное приближение

1--+ (3.126,

аэфф = а-и2д 2. (3.127)

Поскольку уравнение (3.126) эквивалентно исходному модельному дифференциальному уравнению, будем называть аэфф эффективной вязкостью.

С математической (и физической) точки зрения роль вязкости (диффузии) заключается в «размазывании» (диффузии) возмущения величины X,, в стремлении сделать распределение однородным. Отрицательная вязкость физически невозможна, так как она приводила бы к концентрации любых малых возмущений, возникших в однородном распределении, и создавала бы таким образом монотонную неустойчивость). Для устойчивости необходимо, чтобы выполнялось условие аэфф О, или условие

Л/<2а/и2, (3.128)

совпадающее с условием (3.113), полученным при помощи ме-

1) Применительно к уравнению теплопроводности условие а,фф О можно интерпретировать как требование, что конечно-разностное уравнение не должно противоречить второму началу термодинамики.



Вообще говоря, в этих методах рассматривается квадрат независимой переменной (а не обязательно физическая энергия).

2) В чаще всего цитируемом в открытой литературе изложении метода фон Неймана (ОБрайен, Хаймен н Каплан [1950]) устойчивость фактически определяется по росту или затуханию машинных ошибок округления. Это принципиально отличается от требования ограниченности решения, но такое различие практически неважно, поскольку при анализе устойчивости по

года фон Неймана. В сочетании с условием (3.120) оно включает условие Куранта C = uAt/A.x 1. Этот анализ не снимает ограничения (3.112) на сеточное число Рейнольдса и поэтому обеспечивает необходимые, но не достаточные условия устойчивости для модельного уравнения с конвективным и диффузионным членами.

Упражнение. Повторить предыдущие два упражнения по определению условии устойчивости для схемы с разностями против потока, используя метод Хёрта.

3.1.5. г. Краткий обзор и оценка различных критериев устойчивости

Выше были приведены примеры трех различных методов анализа устойчивости; метод дискретных возмущений, метод фон Неймана и метод Хёрта. В методе Хёрта использовался критерий Куранта -Фридрихса -Леви [1928] для гиперболических систем. Известны еще по меньшей мере три более или менее популярных метода, а также ряд других менее популярных. Ограниченность решения разностных уравнений можно непосредственно проверить при помощи критерия Фридрихса о положительности коэффициентов (см. Рихтмайер и Мортон [1967, с. 22] и Хан [1958]), а также при помощи «энергетических» методов ) Келлера и Лакса (см. Рихтмайер и Мортон [1967, с. 23 и далее]). На практике эти методы оказываются применимыми только для простейших разностных схем дифференциальных уравнений. Подобно этим двум методам в методе Эдди [1949] также рассматриваются непосредственно свойства множителя перехода для конечно-разностных уравнений, а не дискретные фурье-компоненты. Оказывается, что в простых случаях, рассмотренных в работе Эдди [1949], этот метод дает результаты, совпадающие с результатами метода фон Неймана, но он сложнее в приложениях и не используется в открытой литературе.

Критерии устойчивости в этих трех методах, так же как и в методе фон Неймана 2), где требуется, чтобы множитель перехода удовлетворял условию 1, основаны на ограниченности решения. (Однако критерий фон Неймана можно модифицировать, приведя его к виду G 1 - О{At), что дает возможность рассматривать случаи неограниченных решений дифференциальных уравнений.) Все эти указанные критерии не



идентичны. Хан [1958] показал, что критерии фон Неймана, Фридрихса и Куранта - Фридрихса - Леви эквивалентны только для простейших конечно-разностных схем в применении к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. В случае же переменных коэффициентов условие фон Неймана является только необходимым, а условие Фридрихса только достаточным. Для конечно-разностных аналогов волнового уравнения, в которых в точке i используются значения не в точках i ± 1, а в более удаленных точках, условие Куранта - Фридрихса - Леви больше не является достаточным. Митчелл [1969] указывает, что условие фон Неймана является необходимым и достаточным (в случае постоянных коэффициентов) для двухслойных схем только с одной зависимой переменной и любым числом независимых переменных, в противном случае оно является только необходимым. Кроме того, не ясно, эквивалентны ли эти критерии устойчивости критериям, полученным в методе дискретных возмущений и в методе Хёрта при переменных коэффициентах, и поэтому не следует ожидать одинаковых результатов во всех случаях.

Для ознакомления с другими определениями и критериями устойчивости рекомендуется следующая литература. Хилден-бранд [1968, с. 205] обсуждает «пошаговую» устойчивость (рассматривается поведение во времени, когда t-oo при фиксированном А, как и в трех изложенных выше методах)) и сопоставляет ее с «поточечной» устойчивостью (рассматривается поведение конечно-разностных уравнений, когда размер шага пространственной сетки стремится к нулю). Густафсон [1969] вводит критерий Л-устойчивости. Роджерс [1967] исследует устойчивость разностных операторов при помощи переходных функций, используемых в теории управления. В работах Кузика и Лави [1968] и Лави [1969] обсуждается устойчивость различных методов и предлагается неитерационный метод оценки устойчивости в ходе расчетов. С точки зрения обоснования теории устойчивости важны работы Крейса (1964, 1968] и Ошера [19696], а также книги Вазова и Форсайта [1960] и Келлера [1968].

Карплюс [1958] предложил подход для исследования устойчивости конечно-разностных уравнений, основанный на теории электрических цепей; несмотря на то что иногда этот подход можно использовать с успехом, его применимость лимитируется

фон Нейману делается то же самое Ограниченность решения является более предпочтительным критерием, так как в нем обращают особое внимание на то, что устойчивость нужно исследовать даже в предельном случае алгебраически точных вычислений при общих начальных условиях (Лаке и Рихтмайер [1956]).

•) Свойства устойчивости аналогичны свойствам, полученным при Д<->0 при фиксированном интервале времени (Лаке и Рихтмайер [1956]).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199