Запорожец Издания
) Несмотря на то что в действительности это ограничение, наложенное на Re, может быть связано с линейном неустойчивостью в итерационном процессе, аналогичном процессу нестационарного решения, оно может быть связано и с влиянием границ, которое рассматривается в разд. 3.3.8. нию величины шага по времени. Как следует ожидать из анализа для нестационарных уравнений, при увеличении числа Re требуется нижняя релаксация. Текстор [1968] и Техейра [1966] экспериментально установили, что нужная величина г ~ 1/Re в соответствии с полученным ранее ограничением на число Куранта. Но начиная с некоторого Re и выше, сходимость не достигается даже при произвольно малых /•). Это подтверждает опыт многих исследователей, которые (успешно) использовали схему такого типа; см., например. Том и Орр [1931], Том [1933], Том и Апельт [1961], Кавагути [1953, 1961, 1965], Бургграф [1966], Майкл [1966], Гамилец с соавторами [1967а, 19676 , Фридман с соавторами [1968], Деннис с соавторами [1968], Фридман [1970], Ли и Фын [1970]. Ограничение на Rcc сохраняется даже при использовании некоторых (но не всех) приближений пограничного слоя (Плот-кин [1968]). При итерационном решении стационарного уравнения это ограничение удается устранить, вернувшись для аппроксимации конвективных членов к разностям против потока, как это сделали Ранчел и Вольфштейн [1969], Гринспэн [1969а, 19696], Госмэн и Сполдинг [1971]. Возможны и другие итерационные схемы, которые могут оказаться вполне эффективными; в дополнение к отмеченным работам укажем здесь ряд работ. Аллен и Саусвелл [1955] использовали релаксационную разностную схему Саусвелла (разд. 3.2.3) для решения задачи об обтекании цилиндра при Re = 1000; Гриффите с соавторами [1969] применял линейный метод последовательной верхней релаксации (разд. 3.2.4) в цилиндрической системе координат; Катсанис [1967] и Бреди [1967] решали итерационным методом стационарные уравнения, описывающие потенциальное течение. Отметим интересный исторический факт, заключающийся в том, что большинство исследователей, применявших итерационные схемы для решения стапионарных задач, не занималось анализом устойчивости и скорости сходимости своих схем, а определяло характеристики эмпирически, хотя уже в то время из ранней работы фон Неймана был известен метод исследования устойчивости для уравнений, описывающих нестационарное течение. Возможное объяснение этого факта заключается в том, что методы расчета стационарных течений развивались из раздела численного анализа, относящегося к решению уравнения Пуассона, для которого простейшие итерационные методы не имеют ограничений, связанных с устойчивостью. ) Таким образом, локальное значение М(х,у) можно определять в зависимости от локального критического значения kt. а затем брать его локально для продвижения t посредством dydt Нестационарное peuicHHe при этом, очевидно, не будет иметь смысла, но скорость сходимости итераций к стационарному состоянию может быть увеличена. Рассмотрение нелинейных конвективных членов может изменить строгую эквивалентность между итерационной схемой Ричардсона и нестационарным подходом. При нестационарном подходе на каждом шаге ио времени решается уравнение переноса вихря и обычно итерируется до сходимости уравнение Пуассона эллиптического типа, Уяз = t,. При стационарном же подходе каждое из этих двух уравнений можно (хотя и не обязательно) итерировать последовательно. При таком подходе с «комбинированным итерированием» сходимость итераций, если она имеет место, может быть достигнута за меньшее число шагов; Госмэн (личное сообщение; см. также Госмэн и Сиол-динг [1971]) указывал, что затраты машинного времени при этом сокращаются на 40%. Однако, поскольку для уравнения - £; не обеспечивается сходимость на каждой итерации для уравнения вихря, плохой выбор исходных значений при стационарном подходе может привести к неустойчивости, обусловленной нелинейностью (Техейра [1966], Лил [1969], Ричарде [1970]) из-за конвективных членов и/или из-за граничных условий. Опыт показывает, что если граничные условия итерируются с достаточной степенью точности, то такая трудность не возникает ни при исиользовании явных нестационарных схем, ни при использовании неявных схем. Более того, программа на Фортране может быть написана для нестационарных уравнений, а затем приспособлена для стационарного подхода. При «комбинированном итерировании» уравнения Пуассона и уравнения переноса вихря можно пользоваться простым критерием сходимости для уравнения Пуассона. (Эту процедуру действительно можно рекомендовать для расчетов; см. разд. 3.4). Преимущество, присущее итерационному методу Либмана (методу Гаусса - Зейделя) или итерационно.му методу последовательной верхней релаксации (будут рассмотрены в разд. 3.2), которые аналогичны нестационарным явным схемам метода чередующихся нанравлений (разд. 3.1.17), можно обеспечить простым добавлением в программу оператора EQUIVALENCE для массивов 2;"+ и ti". На практике использование меньших значений параметра нижней релаксации вблизи границ (Фридман [1970] для расчетов в граничных точках брал параметр г приблизительно равным одной трети от его значения, принятого для внутренних точек) может быть реализовано введением переменного в пространстве) шага АЛ Одной из работ, в которых использовались как стационарный, так и нестационарный подходы, является работа Хына и Макано [1966]. Эти авторы нашли, что с нестационарными уравнениями легче работать и они более устойчивы; к такому же выводу с тех пор пришли многие другие исследователи. Такое заключение, очеввдно, связано с простотой используемого нестационарного метода. Когда интерес представляет только стационарное решение, не рекомендуется применять сложную схему, такую, например, как схема Фромма (разд. 3.1.19). В достаточно простых нестационарных схемах привлекает их гибкость в отношении возможносгей получения нестационарного решения, если именно оно представляет интерес. И - что более важно - при нестационарном подходе не предполагается суше-ствование стационарного решения, которого в действительности может и не сушествовать. При этом следует соблюдать определенную осторожность. Если нестационарные конечно-разностные уравнения сходятся к устойчивому стационарному решению, то еше нельзя считать, что соответствуюшие дифференциальные уравнения в частных производных имеют устойчивое стационарное решение. Как мы уже видели, дискретизация иногда приводит к появлению схемной вязкости. Эта и другие ошибки аппроксимации могут привести к тому, что конечно-разностные уравнения окажутся более устойчивыми, чем дифференциальные уравнения в частных производных. Выяснение отличия гидродинамической устойчивости от завышенной численной устойчивости представляет трудную задачу (см. разд. 6.5). Другой заслуживаюший внимания подход к решению задач гидродинамики несжимаемой жидкости состоит в решении уравне1шя четвертого порядка для единственной переменной - функции тока. Подставляя уравнение Пуассона (2.13) и выражения для составляюших скорости (2.7) в уравнение переноса вихря (2.12), получаем Несмотря на то что это уравнение в принципе описывает нестационарное течение, оно обычно рассматривается в стационарной форме, когда его левая часть равна нулю. Используя это уравнение, успешных результатов добились Бурсье и Франсуа [1969], которые применяли неявные схемы чередующихся направлений (см. разд. 3.2.7), и Пау с соавторами [1971], пользовавшиеся итерационным методом Либмана. Большинство исследователей (Том и Апельт [1961], Парис и Уитекер [1965], Пирсон [1964, 1965а]) столкнулись здесь с трудностями, связанными с граничными условиями и с малой скоростью сходи- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|