Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 [ 174 ] 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

ными разностями но пространственным переменным, а для решения уравнения Пуассона - метод последовательной верхней релаксации. Значение вихря на стенке вычислять с первым порядком точности. Подтвердить заключение о сходимости решения.

б) Повторить peuiCHHC задачи а) с граничным условием заданного постоянного «ветрового напряжения» на движущейся «крышке», т. е. при

крыш = с.

3.29. Рассмотреть стационарное модельное уравнение в одномерном случае. Показать, что при м > О и а > О граничных условий

и (0) = а, и (0) = Ь,

где и означает производную N-ro порядка, достаточно для определения решения. Проверить достаточность граничных условий в особых случаях, когда ы = О или а = 0.

3.30. На примере стационарного модельного уравнения в одномерном случае исследовать появление пилообразных осцилляции в решении, когда на выходной границе становится градиентное условие dt,/dx = S ф 0.

3.31. Вывести уравнение Пуассона для давления (3.581а).

3.32. Вывести связь между производной от давления по касательной к стенке и производной от внхря по нормали к этой стенке (см. Пирсон [1965а])

дР \ dl ds Re дп

Заметим, что однозначность Р накладывает следующее условие на контурный интеграл по поверхности тела:

{дЦдп) ds = 0.

Недостаток численного решения, связанный с невозможностью удовлетворить этому условию в конечно-разностной форме, можно трактовать как ошибку, связанную с нарушением свойства консервативности прн вычислении вихря на стенке, и использовать в качестве показателя сходимости аппроксимации.

3.33. Для жесткого уравнения dT/dt = аТ написать явную схему, «полностью неявную» схему и схему Кранка-Николсона. Найти условия статической и динамической устойчивости.

3.34. Вывести уравнение переноса вихря (3.609), разд. 3.7.6, для случая среды с переменными свойствами.

Г лава 4

4.1. Проверить приведение к безразмерному виду уравнений (4.42) и (4.43).

4.2. Вывести уравнение (4.52). Г лава 5

5.1. Показать, что для адиабатического течения и + а Со и что для подобных течений критическое условие устойчивости по числу Куранта имеет место при максимальной скорости.

*5.2. Запрограммировать схему Лакса для задачи об одномерном распространении ударной волны. Применить фиксированные условия на входной границе и принять условие нулевого градиента на выходной границе. При у = = 1.4 для скачка с отношением давлений 4.978 принять параметры перед скачком р = 1, £ = 2.5, ы = 0; тогда параметры за скачком будут р = 2.812 Е = 16.0489, и - 1.601. В начальный момент времени параметры за ударной волной можно задать в точке 1=1, а перед ударной волной - в точках от 1 = 2 до IL = 50. Провести расчеты при различных значениях числа Куранта, в частности обнаружить диффузию при = 0.



*5.3. Выполнить предыдущую задачу для схемы с конечными разностями против потока. Исследовать поведение осцилляции за ударной волной прн изменении и отношения давлений на скачке.

*5.4. Выполнить задачу 5.2 для любой описанной в разд. 5.4 схемы с явной искусственной вязкостью. (Можно указать каждому студенту, какой именно схемой он должен заняться.)

*5.5. Выполнить задачу 5.2 для любой описанной в разд. 5.5 схемы с неявной искусственной вязкостью.

*5.6. При помощи любой нз программ, разработанных для задачи 5.2, опробовать различные начальные условия, при которых в начальный момент вре.мсни ударная волна размазывается по нескольким ячейкам,

5.7. Применить схему Лакса - Вендроффа к модельному уравнению диффузии dydt = adQdx. Показать, что получающаяся при этом конечно-разностная схема с пятнточечным по пространству шаблоном условно устойчива и условие устойчивости имеет вид d = aAt/Ax /г- (Эту задачу предложил д-р Ф. Уорминг.)

5.8. Разработать схему для расчета одномерного распространення ударной волны, основанную на схеме Крокко для вязкого газа и введении явной искусственной вязкости.

*5.9. Опробовать схему, построенную в предыдущей задаче, на расчетах и сравнить полученные результаты с результатами по другим схемам.

*5.10. Применить одну из явных схем расчета уравнения переноса вихря в несжимаемой жидкости (например, схему Дюфорта - Франкела, схему Хойна или явную схему метода чередующихся направлений) к задаче об одномерном распространении ударной волны, вводя прн этом искусственную вязкость.

5.11. Определить точность способа отражения для задания граничных условий на конце закрытой ударной трубы в одномерном течении. Рассмотреть уравнения как для вязкого, так и для иевязкого газа в расчетных сетках первого и второго типов (см. Тайлер и Эллис [1970], а также Уоткинс [1970]).

5.12. Выяснить, как применение способа отражения для задания граничных условий в расчетной сетке второго типа влияет иа аппроксимацию вязких членов со смешанными производными.

5.13. Показать, что вблизи стенки с прилипанием аппроксимация бЯ/бл имеет формальный второй порядок точности при расчете плотности иа гибридной сетке, как это было рекомендовано в разд. 5.7.2.в.

*5.14. Решить численно задачу о дозвуковом течении газа в замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей. Положить на «крышке» М = 1 и постоянную температуру стенки Го. Применить уравнения с постоянными коэффициентами переноса и схему Браиловской или схему Чена - Аллена. Необходимо следить, чтобы сеточное число Рейнольдса было меньше 2. (Эта задача довольно трудна для программирования.)

Глава 6

6.1. Применить преобразование экспоненциального растяжения (6.9) к уравнению переноса вихря в консервативной форме (2.12). Будет лн полученное уравиение консервативным в каком-либо смысле?

6.2. Показать, что для уравнения неразрывности в цилиндрических координатах в осесимметричном случае

др I д (гру) djpu) dt г дг dz "

схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным (которая может быть неустойчивой) «консервативна» в смысле метода контрольного объема из разд. 3.1.3. Показать, что она не консервативна в смысле днвергентиостн.



список ЛИТЕРАТУРЫ

Вопросы, относящиеся к вычислительной гидродинамике, излагаются в следующих книгах: Вазов и Форсайт [1960], Рихтмайер [1957], Саульев [1964], Яненко [1967], Патаикар и Сполдинг [19676], Рихтмайер и Мортон [1967], Эймс [1965, 1969], Зенкевич [1967], Митчелл [1969], Госмэн с соавторами [1969]. Читатель может обратиться также к сборнику работ советских авторов под редакцией Рослякова и Чудова [1963], Трудам двух конференций по численным методам в гидродинамике, сборнику работ AIAA под редакцией Чу [1968] и в первую очередь к продолжающейся изданием серии Methods of Computational Physics (в настоящее время вышло девять томов), выпускаемой издательством Академик Пресс под общей редакцией Б. Олдера, С. Ферн-баха и М. Ротенберга.

Результаты текущих исследований можно найти в следующих журналах: Journal of Computational Physics, AIAA Journal, Journal of Fluid Mechanics, The Physics of Fluids, Numerical Methods in Engineering, AIChE Journal, ASME Journal of Heat Transfer, Mathematics of Computation, Computer and Fluids).

Аальто (Aalto S. K.) [1967]. An iterative procedure for the solution of nonlinear equations in a Banach space. - MRC-TSR-774, Math. Res. Center, Madison, Wisconsin.

Абарбанель, Бениетт, Брандт, Гиллис (Abarbanel S., Bennett S., Brandt A., Gillis J.) [1970]. Velocity profiles at low Reynolds numbers. - J. Appl. Mech., V. 37, No. 1, p. 2-4. [Имеется перевод: Профили скорости потока

) Наряду с перечисленными здесь журналами укажем следующие советские периодические издания: Журнал вычислительной математики и математической физики; Известия АН СССР, Механика жидкости и газа; Журнал прикладной механики и технической физики; Ученые записки ЦАРИ; Численные методы механики сплошной среды (Новосибирск). Вообще следует отметить, что ссылки автора на труды советских ученых носят в значительной мере случайный характер. В связи с этим мы сочли необходимым включить в настоящее издание дополнительный список литературы, содержащий, правда, только основные книги отечественных авторов.

При подготовке второго издания автор оставил почти без изменения список литературы, который практически ограничивается работами, вышедшими до 1972 г., и естественно требует уточнений. Укажем, например, что вышли Труды еще четырех конференций по численным методам в гидродинамике и что серия Methods of Computational Physics насчитывает сейчас уже шестнадцать томов (имеются переводы томов 3, 9, 10 и 16: Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967; Вычислительные методы в физике плазмы. - М.: Мир, 1974; Вычислительные методы в физике атомных молекулярных столкновений. - М.: Мир, 1974; Управляемый термоядерный синтез. Под ред. Дж. Кнллина. - М.: Мир, 1979). - Яриж. ред.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 [ 174 ] 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199