 |
 |
 |
 |
рим следующие члены уравнения количества движения в направлении х:
д (ри) д (рии)
д (риу) ду
р др , д(ри) . d(pv) , ди , ди . ди р
дх д (ри)
ду д (pv) -
ду J
dt dx du , du , du
L dt
L dt
+ V.(pV) +p
dyi Du Dt
(4.7)
Выражение в квадратных скобках равно нулю в силу уравнения неразрывности (4.1); поэтому
pF = - + + - = T + -t(P")V]- (4.8)
Подставляя (4.8) в (4.2), получаем уравнение количества движения в направлении х в консервативной форме:
i L v.(p„) VI + ±[2.Й + ЯО] + [ц (* +1)],
(4.9а)
или сокращенно
(4.96)
= ---V.[(p«)V] + A + Z)2.
Уравнение количества движения в консервативной форме в направлении у выводится аналогично:
(И JL L v.[(p„)v]+
" / dv
dv du
dy )\
или сокращенно
d(pv) dP dt dy
-W-[{pv)\] + D3 + D,.
(4.10a)
(4.106)
В уравнениях (4.9) и (4.10) переменные и и v заменены консервативными переменными ри и ри. Теперь в уравнении количества движения в направлении х основной переменной является количество движения ри. Чтобы подчеркнуть это, пе-репищем уравнение (4.96), введя обозначение f == ри:
(4.11)
где член Sf состоит из компонент градиентов давления и вязких напряжений, стоящих в правой части уравнения (4.96). Теперь
Представим тензор полных напряжений как сумму тензора гидростатического давления и тензора вязких напряжений П:
Т = -РЦ-П, (4.14)
где по определению Р - гидростатическое давление, а I - единичный диагональный тензор; тогда
V.(T-V) = -V-(PI-VH-n-V). (4.15)
Так как V-(Р1 • V) = V-(VP)), формула (4.15) принимает вид у.(Т-V) = -V-(VP)H-V-(n. V). (4.16)
1) 7 . (Р1. V) IV [Р (ii + jj) («1 + v\)] IV • [Р (i« -h ]v)] L
совершенно ясно, что уравнение для переменной f представляет собой уравнение переноса. Это уравнение аналогично уравнению (2.10) для вихря, и на него можно распространить все рассуждения разд. 3.1.3 о свойстве консервативности.
Мы получили консервативную форму, содержащую d{pu)/dt из неконсервативной формы, содержащей du/dt, так как последняя чаще употребляется в литературе. В действительности же основной является именно консервативная форма, а некон-сервативпая просто следует из нее. Достаточно вспомнить, что второй закон Ньютона записывается в консервативной форме, т. е. через производную d{pu)/dt, и только будучи скомбинированным с законом сохранения массы (с уравнением неразрывности), приводится к пеконсервативной форме и записывается через du/dt. Все эти замечания справедливы и для уравнения энергии, к рассмотрению которого мы сейчас переходим.
В уравнении энергии в консервативной форме консервативной величиной будет являться ydeAbuan (т. е. отнесенная к единице объема) внутренняя энергия торможения
ELpe, = p[e~\-Uu + v)]. (4.12)
Если читатель незнаком с тензорными обозначениями или е.му малоинтересны такие детали, как условия применимости гипотезы Стокса и т. п., то он может перейти сразу к уравнению (4.36).
С введением величины Es уравнение энергии (4.4) принимает
V.(Vi:,)~V-qH-V.(T.V). (4.13)
Подстановка выражения (4.16) в уравнение (4.13) дает
r)F Р
= V . (WE,) - V • q - V (VP) + V • (П . V), (4.17)
= - V . [V (£, + Р)] - V . q + V . (П . V). (4.18)
Таким образом, получено уравнение энергии в консервативной форме. Заметим, что здесь консервативной величиной является удельная внутренняя энергия торможения Es = р(е ~{- V/2), а переносимой величиной - удельная энтальпия торможения Es + Р. Член VP характеризует работу сил давления.
Заметим также, что консервативная форма уравнения нераз-)ывности может быть получена из обычной (см., например, Зерд с соавторами [I960]) простой заменой субстанциональной производной Dp/Dt на dp/dt + V {р\). То же самое справедливо и для уравнений количества движения, так как вязкие члены при таком преобразовании не затрагиваются. Но для уравнения энергии это несправедливо. Приведение уравнения энергии к консервативной форме изменяет вид вязких членов. Введение консервативной переменной Es = р{е ~{- V/2) ведет к появлению члена d(/2pV)/dt. Этот член может быть найден из «уравнения механической энергии» (см. Берд с соавторами [1960]) и зависит от вязких членов. Таким образом, при введении консервативной переменной вид вязких членов в уравнении энергии меняется.
Уравнения (4.1), (4.9), (4.10) и (4.18) являются системой уравнений в размерном виде для искомых консервативных переменных р, ры, ри, Es, описывающей течение сжимаемой жидкости. Однако для ее решения необходимы дополнительные соотношения.
4.4. Дополнительные соотношения
Для решения приведенной выше системы необходимы дополнительные соотношения, именно: уравнение состояния для определения Р через консервативные переменные, а также соотношения для определения теплопроводности и вязких напряжений. В этой главе мы рассмотрим только простейший случай. Предположения, которые будут приняты, пригодны для простых газов при умеренных температурах и давлениях. (Воздух часто можно считать простым одиокомнонентиым газом, так как основные его компоненты N2 и О2 являются двухатомными и имеют сходные термодинамические свойства.)
Уравнение состояния для совершенного газа имеет вид
P = pP„f, (4.19)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 [ 102 ] 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199