Запорожец Издания
для расчета внутренних точек » + ~" 2 (1 + Р) L « + . / + + Р 1 fc + 2 Р i/c - аЛ, 2 (1 + р2) pJ, + (3.528а) (здесь -значение на границе, взятое с k-u итерации); для определения значений функции на границе Pt,7.=P/!:+.--% (3.5286) Однако такой правдоподобный способ не сходится. Решение «ползет» медленно, но неограниченно долго. Это является причиной того, что вплоть до конца шестидесятых годов большинство опубликованных работ не содержало расчетов давления, а приводившиеся в остальных работах распределения давления оказывались неверными, хотя они и удовлетворяли какому-либо «критерию сходимости», подобному условию (3.501). Метеоролог Миякода [1962] рекомендует подставлять градиентные граничные условия непосредственно в разностную схему метода последовательной верхней релаксации при расчете внутренних точек, смежных с границами). Таким образом, уравиение в виде (3.528а) берется только во внутренних точках, отстояших от границ более чем на одну ячейку. В точках, смежных с границей, уравнение (3.528а) заменяется следуюшим: k + l (О [pk , pk+l 1 fi2pfe I i, jc+\ - 2 (1 4- p2) L« + i. -Г i-i, -T P tt. jc+2 -r -2(1 +р2)р/.+.1 + Рм.+ь (3.529) которое разрешается алгебраически относительно члена PJ+J..,, входяшего в обе части равенства. После того как сходимость достигнута, окончательные значения функции на границе можно найти по уравнению (3.5286). Уравнение (3.529) отличается от (3.528а) и (3.5286) только номером слоя по времени в члене (Р+1 ~ бР/бп \ ,сУ)- Второе требование, связанное с постановкой условия Неймана, заключается в том, что градиент давления на границе должен согласовываться с источииковым членом в уравнении Пуассона. По теореме Грина для существования решения диф- ) Автор весьма признателен д ру С Пиачеку, который указал ему эту ирнную работу. ференциального уравнения (3.525) в области R необходимо выполнение условия Е = S dR - (дР/дп) dl = 0 (относительно R OR одномерного случая см. приложение А). Из-за ошибок аппроксимации значения функции на границе обычно не удовлетворяют этому условию, что приводит к медленной расходимости метода последовательной верхней релаксации. Миякода [1962] рекомендует задавать бР/бя так, чтобы это условие выполнялось. Способ, предложенный Брили [1974], а также Гхиа и Гхиа (личное сообщение), заключается в нахождении дискре-тизированной величины Е и последующем решении видоизмененного уравнения VP = S - EjR, где R - площадь рассчитываемой области. Если интегрирование для величины Е выполнено надлежащим способом (Гхиа и Гхиа; см., например, ниже уравнения (3.533) и (3.534)), то итерационная сходимость как в методе последовательной верхней релаксации, так и в неявной схеме метода чередующихся направлений существенно улучшится. Отметим, что градиентное граничное условие второго рода может потребовать специального подхода, чтобы избежать неопределенности в методе прогонки, применяемом в неявной схеме метода чередующихся направлений (см. приложение А). Если бР/бл определяется со вторым порядком точности, то и весь метод в целом будет иметь второй порядок точности. Расчеты Миякоды [1962] показали, что в случае постановки условий Неймана оптимальное значение параметра релаксации соо увеличивается. Если Pi,j является решением уравнения для давления, то решением будет и Р,-,/--С, где С-некоторая постоянная. Частное решение определяется заданием Р в одной точке. Если некоторую точку, принадлежащую границе, можно рассматривать как точку, отвечающую невозмущенному потоку, то в этой точке рекомендуется положить Р = 0; это даст возможность легко установить связь между Р и коэффициентом давления Ср, общепринятым в технике, а именно Р = 2Ср. Эта точка может не участвовать в итерационном процессе. 3,5.5. Характерная величина для отсчета давления При публикации результатов часто опускается важная деталь, связанная с проведенным выше обсуждением. Для задачи, в которой рассматривается невозмущенный поток, можно произвольно положить, что для такого потока Р = 0. Без ограничения общности можно также для невозмущенного потока полагать Р равным любому другому постоянному значению; например, часто выбирают Р=1. В задаче о течении в ограниченной области, например в классической задаче о течении внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной стенкой (Кавагути [1961], Бургграф [1966], Пан и Акривос [1967], Донован [1970]), начальное приближение для давления в нестационарном случае также можно выбирать произвольным образом. Например, Донован [1970] полагает Р = 1 в центре стенки, противоположной движущейся «крышке», и выбирает его в качестве характерного давления Рг= 1. Подчеркнем, что здесь только в начальный момент времени Рг = 1, а в последующие моменты времени значение характерного давления в этой точке определяется физикой задачи. Для того чтобы определить Рг в последующие моменты времени и таким образом получить характерную величину для отсчета давления во всех точках поля, необходимо обратиться к расчету термодинамических параметров при помощи уравнения состояния. Для любого газа или жидкости выполняется некоторое уравнение состояния, которое в размерных термодинамических переменных записывается так: Р = /(р, Г). (3.530) (Например, Для совершенного газа Р= pRgT, где Rg - газовая постоянная.) Предположим, что начальные условия соответствуют состоянию покоя. Тогда при л = О начальные условия для размерной величины давления будут Р(,/ = const во всей области; назовем эту постоянную величину характерным давлением Рг- В процессе нестационарного решения вычисляется также температура (см. разд. 3.6), а по ней характерное давление. Эти расчеты могут проводиться вместе или по отдельности). Температура может повыситься либо за счет неадиаба-тичности стенок, либо за счет диссипации (см. разд. 3.6). Последняя особенно важна при расчетах до больших моментов времени; однако в качестве иллюстрации мы рассмотрим случай, когда стенки являются адиабатическими, а диссипацией пренебрегают. Проинтегрировав уравнение состояния (3.530) по всей рассчитываемой области, получим Р dR-=f{p, f)dR, (3.531) где R - площадь замкнутой области, внутри которой происходит течение. Предположим, что среда несжимаема и Т = const; тогда уравнение (3.531) дает [pdR==RPl (3.532) ) Если температура растет, то для lasa шсло Рейпопьдса будет уменьшаться, поскольку при этом увеличивается коэффициент вязкости ц. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|