Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [ 126 ] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Было бы полезно моделировать условия скольжения на стенке при помощи уравнений вязкого течения. Это соответствует учету вклада от вязких членов в ячейках, отстоящих от стенки более чем иа один ряд, и предположению, что толщина пограничного слоя меньше Az/. Представляется, что наложение дополнительных условий о ра-

? / У*у> / / / / / / / / / /

/

/ / /

/ У У

венстве нулю градиентов I) и Т было бы достаточно для определения решения и это решение моделировало бы в некотором смысле стенку со скольжением, однако в настоящее время справедливость подобного подхода не ясна (см. обсуждение данного вопроса в разд. 3.3.2).

5.7.1. а. Стенка со скольжением в расчетной сетке первого типа

В расчетной сетке первого типа узловые точки лежат на поверхности стенки, как это изображено на рис. 5.2, а. Для конкретности будем предполагать, что стенка расположена на прямой г/=; = const так же, как граница В 2 на рис. 3.22.

Наиболее расиространен-ным способом постановки граничных условий является так называемый способ отражения. Здесь вводится дополнительный ряд фиктивных точек для \~w-\, расположенный внутри стенки, как это показано на рис. 5.2, а. Затем в этих точках рассматриваются фиктивные значения переменных при помощи антисимметричного отражения v и симметричного отражения других переменных, а именно

= - /да-1 = + /ю+ь / = р, ы, или Г. (5.113)

Дополнительно налагается условие Ощ, = О при / = w. Новые зависящие от времени значения /и, вычисляются при помощи стандартных конечно-разностных аппроксимаций, используемых во внутренних узловых точках (г, ш).

Выражения (5.113) являются условиями симметрии и, очевидно, справедливы для линии симметрии В 1 на рис. 3.22.

Рис. 5.2. Стенки в различных расчетных сетках, а - стенка в расчетной сетке первого типа, б - стенка в расчетной сетке второго типа.



б jpuv) by

iptiv)w+\ - {puv)w-i Pw+\Uw+iVw+\ - Pw + iUw+Л- Vw+i) 2Ay 2Л(/

= (P">+ Ф0 в Общем случае. (5.117a)

Величина v+i-O при уменьшении Лг/ и может показаться, что применение способа отражения согласуется с уравнением

Однако в общем елучае етенка не является линией еимметрии. Моретти [1968а, 19686] наетаивал на том, что граничные условия с отражением ошибочны. В его интерпретации эти условия вводят дополнительные граничные условия вида df/dy = О для /==р, и и Es, фактически переопределяющие задачу. Однако значения в узловых точках ш-1 можно интерпретировать как чисто фиктивные, введенные лишь для удобства, чтобы в граничных точках W использовать стандартные аппроксимации, применяемые во внутренних точках. Для ответа на вопрос о том, правильны ли условия отражения (5.113) и каков характер возникающих при этом ошибок, надо проанализировать их с учетом используемых здесь уравнений.

Во-нервых, условие == О, конечно, правильно. Далее, рассмотрим для невязкого газа неконсервативную форму уравнения количества движения (4.3) в проекции на ось у:

dv dv dv \ дР /г , , л\

~чг~ - и-ъ--V----г-. (5.114)

dt дх dy р dy \ I

Так как v{x)\w=0, то dv/dx\w= вдоль прямолинейной стенки, и уравнение (5.144) сводится к равенству

5/<?U = 0. (5.115)

Способ отражения (5.113) дает Pw-\ = Pw+\ и, следовательно, бР/б1/и, = 0, что точно согласуется с уравнениями течения невязкого газа.

Возьмем далее уравнение количества движения в проекции на ось X. Из неконсервативной формы уравнения (4.2) для невязкого газа будем иметь

du ди du \ dP ,е , r

-dГ=--дT~-дi~7дI (-

На стенке Vw =0 и, следовательно, второй член уравнения (5.116) должен быть равен нулю. Рассмотрим результат применения способа отражения (5.113) к соответствующему члену консервативного уравнения (4.55), а именно к члену d{puv)/dy. На стенке



(рЦЦ)ш-и (рЦ)ш+1 [vw + dvldy U Аг/ + О (Аг/)] , Аг/ Аг/

= (р")ш + 1

+ 0(Аг/). (5.1176)

На стенке со скольжением ди/ду\ФО, если только стенка не является линией симметрии. Таким образом, из уравнения (5.1176) следует, что возникающая здесь ошибка сохраняется и при Аг/->0, и поэтому способ отражения, применяемый на стенке и на расчетной сетке иервого типа, математически не согласуется с исходной системой дифференциальных уравнений в частных производных. Сравнительные расчеты, проведенные Моретти [1968а, 19686] показали, что, как и следовало ожидать, применение более грубой сетки ведет к большему росту граничной ошибки.

Решение системы конечно-разностных уравнений с ошибочными граничными условиями может давать приближение к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных в некотором полезном смысле, однако в математическом смысле в этом случае аппроксимация отсутствует: при Ал;->0 решение системы конечно-разностных уравнений не стремится к решению исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Любопытно, что математики не обращали внимания на применение таких ошибочных граничных условий. Только сравнительно недавно появились статьи о глобальном влиянии подобных переопределенных граничных условий, см. Крейс и Лундквист [1968] и Ошер [19696]. Удобный способ отражения можно до некоторой степени спасти, применяя его к уравнениям неразрывности и энергии и принимая специальные меры для обращения в нуль члена d{puv)/dy в уравнении количества движения в проекции на ось х. Это даст непротиворечивые граничные условия на прямой стенке.

Важная и интересная проблема аппроксимации граничных условий возникает при использовании способа отражения на криволинейной стенке, которая представляется ломаной из прямолинейных отрезков длины As. Способ отражения снова дает бР/бп = О, однако правильное значение градиента давления на стенке для стационарного потока со скольжением должно быть

dP/dnl = {u + v)/r, (5.118)

где г-местный радиус кривизны. Таким образом, хотя конечно-разностные уравнения во внутренних точках аппроксимируют исходные уравнения в частных производных и ломаная стенка аппроксимирует криволинейную стенку при Дх->0, граничные

(5.116), однако более тщательное рассмотрение показывает, что



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 [ 126 ] 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199