Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199


Рис. 3.10. Продолжение, в: С = 0.5, iV = 8; г: С = 0.75, N={01.



не затухает, а уменьшает свою амплитуду по мере ее переноса за счет конвекции.

Основываясь на рис. 3.10, можно сделать и другое очень интересное заключение. Обычно не обращают внимания на то, что при решении конечно-разностных уравнений для задач, аналогичных представленной на рис. 3.10, существует два характеристических параметра. Первый параметр представляет собой число Куранта, которое является единственным параметром при решении конечно-разностного уравнения во внутренних точках. Вторым параметром является сеточная частота N = = 2л/At, т. е. число временных слоев за период изменения функции на входной границе потока.

Сравнение рис. 3.10,6 и 3.10, s приводит к выводу, что для фиксированного С < 1 затухание (уменьшение экстремальных амплитуд) ослабляется с увеличением сеточной частоты в том случае, когда сеточная частота N представляет собой целое число. Но когда N не является целым числом (случай, изображенный на рис. 3.10, г), то происходит «недозатухание» амплитуды; как показано на рис. 3.10, г, амплитуды «недозату-хают» на 15% от амплитуды пика на входной границе, что обусловлено фазовыми ошибками. Данный эффект нельзя полностью отнести за счет условия на выходной границе потока; уже до того, как почувствуется какое-либо влияние этих условий, наблюдается недозатухание амплитуды на 8%.

Схеме «чехарда» присущи также другие ошибки и аномалии. Дифференциальное уравнение (3.144) является уравнением первого порядка по пространственным переменным и по времени; для всех л: > О, > О решение полностью определяется заданием начальных условий t,{x,0) и граничных условий t,{0,t). Но для начала вычислений при помощи дискретного аналога (3.145) требуется два набора начальных условий, так как для расчета значений на (гг4-1)-м слое необходимы значения на п-м и (п - 1)-м слоях.

Таким образом, конечно-разностное уравнение фактически является уравнением второго порядка по времени и требует начальных условий t,\ и g; это аналогично заданию начальных

значений Цх.О) и Для дифференциального уравнения,

что делает задачу для дифференциального уравнения переопределенной. Для получения должна быть использована другая «разгонная» конечно-разностная схема, после чего можно применять схему «чехарда». Если такая «разгонная» схема дает точные результаты, как это предполагалось после обсуждения уравнения (3.163), то последующее решение по схеме «чехарда» при С = 1 будет точным. Если же «разгонная» схема вносит



ошибку в значения 1, то эта ошибка будет сохраняться при последующих расчетах по схеме «чехарда».

Таким образом, правильнее говорить, что схема «чехарда» при С = 1 сохраняет, а не дает точное решение, заданное на первом временном слое, для всех времен.

Другим типом ошибки схемы «чехарда» (и всех других схем) при С < 1 является фазовая ошибка. При решении дифференциального уравнения все начальное распределение t,{x,0) распространяется со скоростью конвекции и. При конечно-разностных расчетах различные фурье-компоненты имеют разные

Рис. 3.11. Фурье-компонента с длиной волны Л = 2Ад: на пространственной сетке бесконечной протяженности.

скорости конвекции, причем скорость компонент с наибольшей длиной волны Л приближается к правильному значению и, а компоненты с меньшими длинами волн распространяются с меньшими скоростями. Фазовая ошибка будет подробно обсуждаться в разд. 3.1.13, но это явление легко продемонстрировать, рассматривая (см. рис. 3.11) наименьшую возможную длину волны Л = 2Ах на пространственной сетке бесконечной протяженности. Для общности возмущения на (« - 1)-м и п-м временных слоях взяты с различными амплитудами, что соответствует использованию «разгонной» схемы, для которой не выполняется условие G = 1. Из рис. 3.11 ясно, что

+ 1 =1-1 2 Ajc

(3.164)

для всех i. Таким образом, = ?"" = ?" и т. д. Значит, здесь имеет место чередование двух искусственно заданных начальных распределений с произвольной амплитудой. Фурье-компонента с длиной волны к = 2Ах является полностью стационарной, причем имеет место полная ошибка фазовой скорости.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199