Запорожец Издания
Начало Строится коиечно-разиостиая сетка Рассчитывается новое t = t + M, рассчитывается новое t, во виутреиних точках по уравнению dUdt =» - V • (Vg) + Vg/Re Проводятся итерации для определения новых ф во всех точках по уравнению == g с использованием новых £ во внутренних точках. Рассчитывается новое V по формулам Рассчитываются новые граничные значения g с использованием ф и g во внутренних точках Достигается задаииое значение времени или решение выходит на стационарное с заданной степенью точности Конец решения решение конечно-разностного аналога уравнения Пуассона (2.13) для определения новых значений функции тока а]), причем в «источниковом» члене уравнения (2.13) используются новые значения I во внутренних узлах сетки. Существенно, что уравнение Пуассона для новых ф не зависит от граничных условий для новых , которые пока еще не известны. Обычно решение для новых о]) получается итерационным путем, так что итерационный процесс для нахождения включается в общий вычислительный цикл. Теперь, используя конечно-разностный аналог уравнений (2.7) в безразмерных переменных, находим новые составляющие скорости. Последний шаг вычислительного цикла состоит в расчете новых значений на границах рассматриваемой области. Обычно эти новые граничные значения зависят от новых (уже вычисленных) значений о]) и во внутренних точках области, расположенных вблизи ее границы. Затем вычислительный цикл повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто заданное значение времени или пока решение не выйдет на стационарное с заданной степенью точности. Схематически данная процедура изображена на стр. 37. Для различных конкретных задач некоторые детали этой процедуры будут меняться, но основная схема остается неизменной. 3.1. Методы решения уравнения переноса вихря Параболическое уравнение переноса вихря и эллиптическое уравнение Пуассона естественно рассматривать по отдельности, так как методы их решения, очевидно, различны. Однако сразу следует заметить, что при численном решении задачи гидродинамики фактически существует обратная связь между этими уравнениями. Например, в силу того что эти уравнения решаются циклически, увеличение допустимых временных шагов для уравнения переноса вихря должно быть компенсировано увеличением числа итераций при итерационном решении уравнения Пуассона. Неправильное обращение с граничными условиями в одном уравнении может привести к нарушению сходимости в другом. Еще важнее то обстоятельство, что приходится явно искусственно отделять нахождение решения во внутренних точках от расчета граничных условий, так как обе эти процедуры должны выполняться совместно. Однако с чего-то же нужно начинать решение! Окончательный выбор метода решения уравнения переноса вихря зависит от многих факторов). Такой выбор не всегда ) Таких, как граничные условия, геометрия задачи, тип искомого решения (стационарное или зависящее от времени), возможная необходимость расчета поля давления и температуры при решении нестационарной задачи, интервал изменения рассматриваемых параметров (в часгности, числа Рейнольдса) и время, отведенное для разработки программы на ЭВМ. очевиден, и читатель должен знать, что раз навсегда установленных рекомендаций по выбору лучшего метода не последует. Цель этого раздела состоит не в том, чтобы дать некоторый ассортимент методов наподобие рецептов в поваренной книге. Она заключается в том, чтобы определить классы методов, изучить поведение таких классов и указать способы исследования этих методов, т. е. вообще в том, чтобы приучить читателя вникать в методы, а не бездумно их программировать. 3.1.1. Некоторые основные конечно-разностные формулы 3.1.1.а. Разложение в ряды Тейлора Основные конечно-разностные формулы для частных производных могут быть получены при помощи разложения в ряды Тейлора. Используемая прямоугольная сетка показана на рис. 3.1. Нижние индексы i и / относятся к х к у, а верхний V-+1 V--1 (1,1) X Cr,i) Рис. 3.1. Прямоугольная конечно-разностная сетка. индекс п соответствует временному слою. Шаги сетки в направлениях i и / обозначаются через Да: и Ау соответственно. (Для простоты до гл. Q Ах и Ау считаются постоянными.) Переменная f означает какую-либо функцию ). Формы односторонних разностных представлений для первой производной df/dx можно вывести следующим образом. Мы предполагаем непрерывность производных и раскладываем fi+uj в ряд Тейлора в окрестности точки {i,}). Верхний индекс (временной) для простоты опускаем. Тогда -11.1 + дх {Xi + ij-Xi,i)+. . . i, I Ад;2 + ЧВП, (3.1) где сокращение ЧВП означает члены высших порядков. ) Мы используем одно и то же обозначение / для иецрерывной функции f{x,y,t) и дискретной функции f(i,j,n). 0 1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|