Запорожец Издания
в дифференциальной форме. Здесь удобнее использовать для пространственной координаты нижний индекс х, а для времени верхний индекс t вместо I и п соответственно. Запишем линейное модельное уравнение в консервативной форме: dt дх -4- a-r (3.25) Проинтегрируем это уравнение по времени от < до < -f Д< и по пространственной области R от х -Дх/2 до х + Ах/2, как показано на рис. 3.4. Поскольку порядок интегрирования по t х x-Lx/1 х-УАх/1 i-1 I i+1 Рис. 3.4. Область интегрирования R для интегрального метода. несуществен, выберем его так, чтобы можно было провести одно точное интегрирование, а именно x+x2гt + t 1 t+At ГХ + Ах/2 Х-&.Х/2 L ( 3. dt d{ul) дх dt + t+Mrx + Axl2 *-x-Ax/2 дК дх dt. (3.26) Выполним интегрирование выражений, записанных в квадратных скобках: х+Аф х-Ах12 t t+At t + At
dt. (3.27) Оставшиеся интегралы определяются численно. По теореме о среднем можно записать г,+Аг J f{z)dzAif{z)Az, где [zu Zi-fAz]. Сходимость гарантируется при Дг--0. Взяв при приближенном вычислении интегралов в левой части уравнения (3.27) среднюю точку j;, а в правой части значения подынтегральных функций при нижнем пределе, т. е. при t (формула прямоугольников), получим
М. (3.28) Производные dtjdx можно найти из соотношения ьх + Дл: х~ ) дх Отсюда чспользуя теорему о среднем, получаем *х+ь.х - ~Ь t Х-1-ДХ/2 Х+Х12 Значение {ii0i+ixi2 можно вычислить как тическое: « + Дх/2=4[(«0 + ВД + Дх]; (3.29) среднее арифме-(3.30) аналогичное выражение имеет место и для (и?) д;(./2. Подставляя (3.29) и (3.30) в (3.28), находим 1 -I* Разделив последнее уравнение на АхД получим г+дг ft 2 Ах Переходя к индексам i и п, видим, что уравнение (3.31) совпадает с уравнением (3.18), выведенным при помоши разложений в ряды Тейлора. Очевидно, в любом методе существует большой произвол при выводе конечно-разностных уравнений. Если, например, интегрировать по времени не от / до + А а от - А до -4- А и в качестве средней точки взять t, то получится уравнение (3.17). Как уже было отмечено выше, это уравнение безусловно неустойчиво. Преимущество интегрального метода можно будет оценить после того, как будет изучено свойство консервативности. Различие между интегральным методом и методом разложения в ряды Тейлора наиболее четко проявляется при использовании непрямоугольных систем координат. 3.1.2. Метод контрольного объема Метод контрольного объема для вывода конечно-разностных уравнений очень похож на интегральный метод, но более фи-зичен по существу. Этот метод наиболее ярко освещает процесс «численного моделирования». Наилучшими примерами такого подхода могут служить широко известные метод частиц Рис. З.б. Контрольный объем КО в точке х. в ячейках (метод PIC) и метод жидкости в ячейках (метод FLIC), развитые в Лос-Аламосской лаборатории (Эванс и Хар-лоу [1947]; Джентри, Мартин и Дали [1966]); эти методы будут описаны ниже (см. разд. б.б.З). Выберем в пространстве контрольный объем с центром в точке X, как показано на рис. 3.5. В качестве значения в узловой точке сетки будем брать среднее значение этой функции по контрольному объему (КО). Для удельной (т. е. осредненной по объему) величины , где 1 можно теперь рассматривать как любую переменную величину, запишем = Г/объем. Например, если £ -- плотность р, то Г - полная масса, заключенная в рассматриваемом контрольном объеме с центром в точке х. Если t, - вихрь, то Г представляет собой циркуляцию (см. Ламб [1945]). Теперь запишем словесную формулировку следующего закона сохранения: Полное приращение величины Г в КО = Чистый приток Г в КО за счет конвекции -f Чистый приток Г в КО за счет диффузии. (3.32) Полное приращение величины Г = Х(объем) в КО за промежуток времени А равно ; l*"" X (х Ау А2) -1\{Х (А А/ Аг). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|