 |
 |
 |
 |
(3.291) (3.292)
(3.293)
(3.294) (3.295)
Тогда метод фон Неймана даст
= 1/« [1 - f {е" - е-") + {е" + e" - 2)"
G = 1 - - (2/ sin 6) + (--) (2 cos 26 - 2).
Так как 1 - cos 26 = 2 sin 6, имеем
G= 1 -/С sine-Csine. Вводя обозначение а = С sin 9, получим
lGF = (l-a2)2 + a2,
Условие устойчивости jG 1 будет выполняться при 1,
откуда С 1. Таким образом, первое итерационное приближение для полностью неявной схемы приводит к обычному условию устойчивости для явных схем, а не к абсолютной устойчивости неявной схемы.
Для двухшаговой схемы (3.286) получается то же условие устойчивости, что и для одношаговой схемы (3.290), но с вычислительной точки зрения эти схемы не эквивалентны. Двух-шаговую схему можно применять в соседних с границей узловых точках, а для одношаговой схемы требуются нефизические значения в узлах, расположенных за границей расчетной области. В случае применения этой схемы к течениям сжимаемой жидкости (Браиловская [1965]) к различиям приводит и нелинейность.
Определим схемную вязкость рассматриваемой схемы в нестационарном случае, раскладывая, как это делалось в методе Хёрта, входящие в одношаговое уравнение (3.290) члены в ряды Тейлора. Опуская индексы i и п, получаем
1 д
и At
2 Ах
Ах + О {Ах"")
иAt 4 Ах
f-(2Ax) +
I- (2 Ах} +
(2А.) +
-Ь 1 -0 (2 Ах) - I и (2 x) + О ((2 АхУ)] - 2? } . (3.296)
dt--lT + Jk+0(А. Ах). (3.299)
Следовательно, в нестационарном случае рассматриваемая схема имеет следующий коэффициент схемной вязкости:
а, = 72" А/ = /гС (и Ах). (3.300)
Если учесть ограничение на величину шага по времени, накладываемое диффузионным членом в случае явной схемы
A/<j, (3.301)
то из (3.300) получится
<T-V- (3-302а)
u2A/2<Ax2, (3.3026)
или с 1, как и при исследовании методом фон Неймана.
В противоположность схемной вязкости в схеме с разностями против потока (3.179) вязкость в схеме Мацупо для нестационарного решения убывает с уменьшением At. Для стационарного решения коэффициент схемной вязкости равен нулю. В этом легко убедиться, замечая, что при достижении стационарного решения результаты, полученные на каждом из обоих шагов схемы, будут совпадать (Аллен [1968], Аллен и Чен [1970]), так как обе формулы идентичны. (Все прочие двухшаговые схемы не обладают этим яселаемым свойством.) Использование в этом случае центральных разностей для производной б/бх приводит к равенству ае = 0.
Рассматриваемую схему можно применять и для полного уравнения, включающего гсонвективный и диффузионный члены, либо вычисляя предварительные значения только для конвективного члена и оставляя старые значения для диффузионного члена, либо вычисляя предварительные значения для обоих
После приведения подобных членов и деления на At будем иметь
Ж + 4 5 + () = - " If + () + А/ и. (3.297)
Определим d%/dt из уравнения конвекции при отсутствии вязкости (см. уравнение (3.226)):
-«2- П298)
Тогда уравнение (3.297) принимает вид
этих членов. В любом из этих случаев исследование устойчивости методом фон Неймана, показывает (Браиловская [1965], Аллен [1968]), что достаточные условия устойчивости имеют вид С 1 и d А- Второе условие оказывается вдвое более жестким, чем обычное ограничение, обусловленное диффузионным членом в схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным. Аллен и Чен [1970] (см. также Аллен [1968]) устранили ограничение, обусловленное диффузионным членом, модифицируя эту схему по той же идее и с той же простотой, с какими Дюфорт и Франкел модифицировали схему «чехарда со средней точкой» (см. разд. 3.1.7), а именно положили
?Г = - f - + d {1, + - 2СГ ), (3.303а)
Г = - т(ж - Ci) + d (С + -2?Г(З-ЗОЗб)
Такая схема с успехом использовалась для уравнения Бюргерса (2.20) и для уравнений, описывающих течение сжимаемой жидкости в случае двух пространственных переменных (Аллен [1968], Аллен и Чен [1970]). Данная схема также дает ошибку порядка О {At, Ах).
Если в схеме Мацуно - Браиловской (3.286) для уравнения, описывающего течение идеальной жидкости, продолжить итерации, то получится аппроксимация полностью неявной схемы (3.258). Обозначая номер итерации верхним индексом k, будем иметь
f = Z-uAt{tn
(3.304)
S<-> = r-uA/(?-0.
Этот подход можно распространить и на схему (3.285), причем получится устойчивая схема с ошибкой порядка О {At, Ах):
(3.305)
L Ьх
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199