 |
 |
 |
 |
физическими данными с некоторой точностью. Однако такие аналитические граничные условия являются наиболее удобным приближением для интересующей физической задачи.
Таким же образом по мере удаления верхней границы (и других границ) от интересующей нас области можно обнаружить, что расчетные данные в этой области согласуются с физическими данными в пределах некоторой точности. Аналитические и численные рещения совпадают с некоторой точностью локально в области, представляющей интерес, но глобально (в частности, в окрестности верхней границы) они не обязательно должны согласовываться.
Нет особых причин выбирать аналитические граничные условия в качестве стандарта для сравнения, как это общепринято. То обстоятельство, что аналитические граничные условия возникли первыми, объясняется только исторической случайностью. Если бы электронные вычислительные машины вошли в обиход в шестидесятых годах семнадцатого века (а не в шестидесятых годах двадцатого века), то общепринятым могло бы стать требование, чтобы аналитик подгонял свое решение в замкнутой форме к разработанным стандартным вычислительным граничным условиям, а это было бы очень неудобно для аналитика.
3.3.11. Условия «на бесконечности»
Вопреки предыдущим замечаниям было бы прекрасно, если бы вычислительные и аналитические граничные условия были эквивалентны. Этого иногда можно добиться при помощи преобразования координат (см, разд. 6.2).
Ричардсон [1910] предложил общую идею - ставить аналитические условия «на бесконечности» на границах расчетной сетки, которые находятся на конечном расстоянии от области, представляющей интерес. Действительно, многие авторы применяли эту идею но крайней мере для одной из «бесконечно удаленных» границ, рассмотренных выше; верхней, входной и выходной. Босуэлл и Верле [1971] на примере задачи об обтекании параболы исследовали влияние граничных условий на бесконечности, поставленных на конечном расстоянии. Маслях и Эпштейн [1970] при помощи теории возмун1,ений получили выражение для коэффициента сопротивления Сд сферы при малых Re, когда условие для скорости в невозмущенном потоке ставилось на сферической поверхности радиуса 1/у. Это выражение таково;
Используя эту формулу, они сравнили величины коэффициента сопротивления в случае истинной «бесконечно удаленной» границы (у = 0) ив случае, когда расчетная «бесконечно удаленная» граница находилась на расстоянии 100 радиусов сферы (у =0.01). В результате оказалось, что
Cclv-o.oi/Ccl,=o= 1.018. (3.498)
Таким образом, даже для границы, расположенной на расстоянии 100 радиусов от сферы, что существенно больше расстояния, обычно рассматриваемого в расчетах, постановка граничных условий для скорости, соответствующих «бесконечности», приводит к ошибке около 2% в коэффициенте сопротивления Сд при малых Re. В случае же у = 0.1, когда по-прежнему накладываются существенные ограничения на размер шага расчетной сетки, это отношение равно 0.821, т. е. ошибка составляет 18% - и это даже без учета ошибки аппроксимации в конечно-разностных уравнениях.
При исследовании течения около плоской пластинки в эллиптической системе координат Лил [1969] для определения af и S на внешней границе брал асимптотическое решение на далеком расстоянии, предложенное Имаи. Это решение дает поправку первого порядка (к решению для потенциального течения), зависящую от коэффициента сопротивления пластинки Сд. Коэффициент Cd получается интегрированием сил трения по поверх-иостп пластинки (задача 2.2) на каждом итерационном шаге. Значит, вычислительные граничные условия на достаточно удаленной границе, задаваемые здесь посредством аналитического решения, итеративно связаны с определением вихря на стенке. (Это решение применимо только для стационарного состояния и, если его использовать на ранних стадиях итерационного решения, оно может препятствовать сходимости итерационного процесса.)
Как уже было указано в предыдущих разделах, предпочтительнее ставить «мягкие» вычислительные граничные условия, накладывающие меньшие ограничения. Если любое условие, соответствующее «бесконечности», используется отдельно, а не вместе с остальными, то это может дать вполне правильное приближение. Но отметим опасность, на которую не всегда обращают внимание). Рассмотрим, например, задачу об обтекании цилиндра вязкой жидкостью. Если ось симметрии отсутствует, то расчеты выполняются в области со следующими четырьмя внешними границами: верхней, нижней, входной и выходной. Предположим, что на всех этих границах ставятся
) Это замечание было сделано профессором М. Ван-Дайком во время дискуссии иа симпозиуме в августе 1968 г.
условия, соответствующие условиям «на бесконечности», т. е. и == Ноо, и == О, Р = Роо. Тогда численное интегрирование уравнения количества движения (см., например, Шлихтинг [1968]) по всей внешней границе дает нулевую величину лобового сопротивления цилиндра!
Численные расчеты Лила [1969] показывают, чго во внутренних точках можно получить вполне удовлетворительные результаты, если даже поставленные граничные условия не совместимы с полным интегралом количества движения, отвечающим сопротивлению, но при этом требуемое расстояние оказывается больше, чем в случае, когда берутся «мягкие» вычислительные граничные условия.
3.3.12. Угловые точки
Постановка граничных условий в угловой точке (гс, 1), расположенной в вершине вогнутого угла уступа (рис. 3.22), не представляет труда; независимо от того, является ли В 1 ли нией симметрии или твердой стенкой с условием прилипания, в этой точке ставятся условия \) = О и t, = О- (Значение t, в этой точке даже не входит в расчеты, если внутренние точки рассчитываются с помощью обычной пятиточечной схемы, но это значение нужно при построении графиков и при использовании девятиточечной схемы.)
Вычислительные же условия в угловой точке C(ic,jc), расположенной в вершине выпуклого угла уступа (рис. 3.22), требуют специального обсуждения значений в этой граничной точке и точности.
3.3.12. а. Граничные условия в вершине выпуклого угла
Определение значения функции тока в такой угловой точке не составляет проблемы. Как и на всей остальной части стенки, фс равна нулю или какой-либо другой константе. Но для определения вихря 1с имеется несколько возможностей: для нахождения величины вихря на стенке Xw условия прилипания можно использовать целым рядом способов. Здесь будут рассмотрены только условия первого порядка для t,c, которые даются формулой (3.435) при ofc = 0.
Если условие на стенке ставится на ее участке, расположенном вверх по потоку от точки С, то получается t,c - So, где t,a определяется формулой Ха ~ 2i!p,c, jc+i/Ay (рис. 3.29). Если это условие ставится на участке стенки, расположенной вниз по потоку от точки С, то = С» = 2я1з,с-)-1,/с/Ал-- Предлагаемый метод заключается в использовании обоих этих значений с рассмотрением разрыва величины t,c- (Действительно, пет причин
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [ 81 ] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199