Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [ 106 ] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) Другое описание возникновения скачка при решении уравнения Бюргерса см. в работе Лакса [1969]. Такие иедифференцируемые решения уравнений в частных производных называют «с.чабыми» решениями в отличие от гладких решений. Скачок связывает две области ьчадких решений.

С математической точки зрения ударная волна - существенно нелинейное явление. В одномерном случае реальные ударные волны в газе (так же, как и турбулентность) моделируются уравнением Бюргерса

ди , ди ди ,.

Если коэффициент а при диссипативном члене dujdx тождественно равен нулю (что соответствует случаю Re=oo), то уравнение (4.67) сводится к следующему:

ди ди ..

-5Г=-"- (4.68)

Решение этого уравнения не обязательно неирерывпо во все моменты времени. Оно имеет аналитическое решение, которое при специальном выборе начальных данных претерпевает скачок (математический разрыв). Следуя Беллману с соавторами [1958], запишем аналитическое решение уравнения (4.68) в виде

ц(х, t) = /(Z), Z = x-u(x,Ot, (4.69)

где функция / задает начальное условие при / = 0:

u(x,0) = f(x). (4.70)

Дифференцируя это решение, получаем

Если начальное условие f(x) таково, что 1-f/f(Z)->-0 при некотором / ti, то

ди1дх\ ->оо (4.72)

и получается скачок).

В задачах более высокой размерности при решении методом характеристик зарождающийся математический скачок проявляется как пересечение характеристик одного и того же семейства (см., например, Томас [1954]).

Если в уравнении (4.67) коэффициент а не равен нулю, но очень мал, то разрыв все еще может возникнуть. Для несколько больших а разрыв может не появиться, зато могут иметь место большие градиенты ди/дх. Именно это происходит в реальных



газах при больших числах Рейнольдса. Производные типа dujdx могут быть столь велики, что толшина скачка станет величиной порядка длины свободного пробега молекул. При практических вычисленияхв этом случае можно вводить разрыв.

Фой [1964] показал, что переход к случаю нулевой вязкости при а->0 происходит гладко. Он доказал, что для двух любых состояний, которые для гиперболической системы (а->-0) могут быть связаны достаточно слабым скачком, сушествует непрерывное решение соответствуюшей системы с вязкими членами. Когда коэффициент вязкости стремится к нулю, это решение стремится к разрывному обобщенному решению гиперболической системы (см. обсуждение этого вопроса и ссылки в работе Лакса [1957]).

Для численного исследования возникновения скачков Ван Леер [1969] и Лаке [1969] пользовались уравнением Бюргерса в консервативной форме

1+1г() = ». <"3)

однако между этим уравнением и полной системой (4.63) суше-стпуют различия; см. работу Лакса 11969].



Глава 5

ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

в этой главе обсуждаются основные численные методы расчета плоских течений сжимаемой жидкости в прямоугольных координатах. Большинство из этих методов построено на основе методов и рассуждений, уже приведенных в гл. 3 для случая течений несжимаемой жидкости, поэтому содержание главы 3 сушественно для ионимания материала настоящей главы.

Уже после выхода в свет первого издания настоящей книги (1972 г.) была опубликована прекрасная работа Пейре и Ви-виаиа [1975], иосвященная расчетам течений сжимаемого газа. Эту работу можно рекомендовать по всем аспектам вычислительных задач, обсуждаемых в настоящей главе.

5.1. Предварительные соображения

Перед тем как перейти к основному содержанию настоящей главы, рассмотрим три вопроса, чтобы не возвращаться к ним при изложении остального материала. Это следующие вопросы:

1) методы расчета течений без ударных волн и методы с выделением ударных волн,

2) исследование устойчивости,

3) исиользование неявных схем.

5.1.1. Методы расчета течений без ударных волн и методы с выделением ударных волн

Хотя в течении сжимаемой жидкости могут возникать ударные волны, известный интерес представляют и решения без скачков. Рассмотрим кратко некоторые численные методы, пригодные только для расчета течений без скачков; эти методы не являются основным предметом настоящей главы.

Не все течения сжимаемой жидкости являются сверхзвуковыми; очевидно, что в задачах с чисто дозвуковым течением ударные волны ие возникают. Например, Трудно с соавторами [1966] использовал уравнения движения сжимаемого газа для расчета дозвукового течения (см., однако, разд. 5.9).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [ 106 ] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199