Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Рассмотрим уравнение переноса вихря (2.12), полагая 1/Re= = а,

----V.(VC) + aV2C. (3.36)

Проинтегрируем это уравнение по некоторой пространственной области R:

5 -§- di? = - 5 V . (V?) dR + \ oSX dR. (3.37)

Н R Н

Так как t не зависит от пространственных переменных, имеем

S§=-rS- (3.38)

Используя формулу Остроградского -Гаусса, получаем

\V- {Wt,)dR=\m)-nds, (3.39)

где (97? -граница R, п -единичный вектор нормали к поверхности (положительное направление соответствует внешней нормали) и ds -дифференциал длины дуги границы dR. Аналогично, по той же формуле

aV%dR = a {S/Q-nds. (3.40)

Тогда уравнение (3.37) примет вид

jldR-\m)-nds + a \m)-nds. (3.41)

Уравнение (3.41) констатирует, что скорость накопления величины в области R равна сумме конвективного и диффузионного притоков величины в /? через OR за единицу времени). Требование консервативности заключается в тождественном сохранении в конечно-разностной схеме этого интегрального соотношения.

Простоты ради рассмотрим одномерное модельное уравнение для предельного случая невязкой жидкости (а = 0), которое получается из уравнения (3.36) и имеет вид

t -("2)

) Мы вывели (3.41) из (3.36), чтобы показать связь этих уравнений, ио на самом деле уравнение (3.41) является более общим, чем (3.36). Например, если а = О, а £-массовая плотность, то оба эти уравнения представляют собой уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы. Однако уравнение (3.41) остается справедливым даже в том случае, когда в некоторых внутренних точках области R производные, входящие в (3.36), ие существуют.



соответствующую интегралу -\t,dR в уравнении (3.41):

= \Y.{4l\-x-(til\,\. (3.44a) Суммирование в правой части проводится следующим образом:

Е [(«Ог-1-(«?ь+.]=

=+(«0/. 1 [=ll

{Ul\ -("0/,+2+ 1]

+(««/,+1 -("0/.+3+ 1=/.+2]

+ («0/.+2 -(«С)/. + 4+ [=/,-f 3]

+..............+

+(«0,-4 [/==/2-3]

+ -(И?)/, + [/=/2-1]

= + («Ол - ("«Л - (3.446)

(Если, с другой стороны, величину I трактовать как массовую плотность, то уравнение (3.42) будет уравнением неразрывности для сжимаемой среды.) Используя разности вперед по времени и центральные разности по пространственной переменной, можно записать конечно-разностный аналог уравнения (3.42) в виде

(здесь для простоты верхний индекс п опущен). Рассмотрим теперь одномерную область R (причем i меняется от 1\ до /г) и вычислим сумму

1=1,



Тогда уравнение (3.44а) принимает вид г А I,

j ht

[(иО;. , + (и?);,]-}[(и?),,+(иО,.+,] =

= iuZ\ ,,-{uQ,,i,. (3.44B)

Данное уравнение показывает, что скорость накопления величины t,i в области R в точности равна) потоку величины Z, в область R через границы /i - Д и /г -f /2 (это следует также из уравнения (3.41) при а = 0). Таким образом, полученный конечно-разностный аналог сохраняет интегральное свойство, которое выражает формула Остроградского - Гаусса для дифференциального уравнения, и мы будем говорить, что этот аналог обладает свойством консервативности.

Свойство консервативности зависит как от используемой формы дифференциального уравнения, так и от принятой конечно-разностной схемы. Например, неконсервативная форма одномерного модельного уравнения (2.18) при « = 0 такова:

-=-„f. (3.45)

Используя ту же схему, что и в предыдущем примере, т. е. разности вперед по времени и центральные разности по пространственной переменной, получаем

,.п

М I 2 Ах

(3.46)

Тогда суммы, соответствующие (3.44а), имеют вид

2 Ах

= i (3.47а)

Снова суммируем:

Е «i(s«-i~s«+i)==

~"/l + lS/,+2+ +"/1+2/1 + 1 ~"/,+2?/,+3+

+"/1+3/1+2

-«/,+з?А+4+ [i = /,+3] (3.476)

) Здесь имеется в виду алгебраическое равенство без учета ошибок округления на ЭВМ.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199