Запорожец Издания
) Для того чтобы получить хорошее начальное решение, можно брать меньшие величины At для первых 10-20 шагов по времени, используя какую-либо двухслойную схему. Однако вопрос о начальном решении нетривиален. Например, Полджер [1971] показал, что в случае использования схемы «чехарда» для производных по времени в уравнениях для невязкой жидкости начальное решение оказывает существенное влияние на нелинейную неустойчивость при больших значениях времени. 2) Фромм [1967] сообщил, что Минцу [1965] удалось избавиться от такого расчленения решения по временным шагам (которое он назвал фазовой неустойчивостью), периодически полагая решение на (п-1)-м слое равным решению на п-и слое. Но не ясно, как часто это надо делать, когда начинать и как это повлияет на нестационарное и стационарное решения. Вопрос о свойствах решений, расчлененных по временным шагам, остаеточ открытым. Это странное поведение совместимо с тем, казалось бы, противоречащим ему фактом, что схема «чехарда» при С = 1 сохраняет точное решение. Если начать расчет с точного решения = то для компоненты с Л = 2Ах следующее правильное решение в самом деле будет += «- = Ясно, что, хотя схема «чехарда» имеет второй порядок точности, в действительности точность определяется точностью «разгонной» схемы, используемой на начальной стадии расчета ). Опыт расчетов показывает, что явления, продемонстрированные на этой модельной задаче с постоянной скоростью конвекции, возникают также и в нелинейных задачах. Таким образом, в практических расчетах всегда имеется возможность расчленения решения по временным шагам (Лилли [1965]), когда развиваются два несвязанных расчлененных решения, чередующихся на каждом шаге. Заметим, что, поскольку dt/dt - О, изменение временного шага не приведет к изменению двух расчлененных решений! Лилли [1965] указал, что такая «неустойчивость», связанная с расчленением решения по временным шагам, по всей видимости, развивается при приближении к стационарному состоянию. Автор настоящей книги также сталкивался с этим явлением в случае уравнений для плоского течения даже при наличии вязкости. При решении задачи об обтекании обратного уступа за счет вязких членов (которые не могут быть рассмотрены с помощью схемы «чехарда», см. разд. 3.1.7) возникла тенденция свести воедино два расчлененных решения, но при приближении к стационарному состоянию расчлененные решения развивались даже при столь малом значении числа Рейнольдса, как Re = 100 ). Схема «чехарда», рассмотренная для конвективных членов, применима также для течений с малыми Re (Хын и Макано [1966]) и для течений невязкой жидкости при условии, что точное начальное решение рассчитывается отдельно и что стационарное состояние не достигается. В схеме «чехарда» (и во всех схемах второго порядка точности с центральными разностями по пространственным переменным) имеют место и дополнительные ошибки. Рассмотрим конечно-разностную схему, у которой наибольшее значение i равно IL. Применение схемы «чехарда» (3.145) для вычисления t потребовало бы значения величины в точке, которая находится вне расчетной сетки. Поэтому в точке IL нельзя провести расчеты и для определения J" требуется задать численное граничное условие в IL. Подобные условия будут рассматриваться в разд. 3.3, а здесь мы лишь укажем, что такое требование аналогично необходимости задания двух наборов начальных условий и ведет к переопределенности задачи для дифференциального уравнения. Заметим также, что обычно используемое условие равенства нулю градиента для задания условия на входной границе потока (см. разд. 3.3.7), когда полагают lli - Uil], приводит к дшжению стационарной (в прочих отношениях) фурье-компоненты с длиной волны А = 2Ах, но это движение не имеет ничего обшего с тем, что происходит при конвекции. С ростом времени эта фурье-компонента с А = 2Ах затухает по сетке справа (от выходной границы потока) налево, тогда как настоя-шая конвекция развивается слева направо. Такое неправильное требование, состоящее в задании дополнительного условия на выходной границе потока, является следствием ошибки еше одного вида, а именно обусловленной нарушением свойства транспортивности, которая будет обсуждаться ниже. Упражнение. При помощи вычислений вручную и геометрических соображений проверить, что схема «чехарда» дает правильное поведение решения на левой границе (входная граница потока). Задав начальное условие, включающее только компоненту с К = 2Дх, и зафиксировав граничное условие на входной границе потока для всех моментов времени, начать расчеты по схеме «чехарда» при С = 1 при точном решении на втором временном слое. Показать, что при С = 1 начальный профиль правильно распространяется по сетке. Следует также заметить, что название «чехарда» применяется для многих схем, отличающихся видом аппроксимации пространственных производных, но все они являются трехслойными и используют центральные разности по времени, как и только что рассмотренная схема. 3.1.7. Схема «чехарда» Дюфорта - Франкела Как было показано, при использовании центральных разностей как по времени, так и по пространственным переменным для аппроксимации модельного уравнения, описывающего тече- ние невязкой жидкости, схема «чехарда» обладает некоторыми желательными свойствами, включая второй порядок точности по пространственным переменным и по времени и тот факт, что множитель перехода G=1. К сожалению, эта разностная схема, примененная к уравнению диффузии, приводит к безусловно неустойчивой схеме Ричардсона. Так как G=1 для уравнения, содержащего только конвективный член, а для уравнения диффузии G>1, то неудивительно, что разностное уравнение (3.17), включающее конвективный и диффузионный члены, также безусловно неустойчиво. Некоторые авторы комбинировали схему «чехарда», имеющую ошибку порядка 0[Af, Ах), для конвективных членов со схемой, использующей разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным (на интервале 2А/) и имеющей ошибку порядка 0(А/, Ах), для диффузионных членов: -Ш-=--Ш-+ «-аР-• (3.165) Формально порядок ошибки аппроксимации соответствует величине ошибки при Ал;->0, А->-0, поэтому общая ошибка аппроксимации для конечно-разностного уравнения (3 165) будет величиной порядка 0(А, Ал;2). На практике величина такой ошибки может быть меньше. При малых, но отличных от нуля А можно считать, что а = 1/Re == 0(А/). В этом случае первый отбрасываемый член в ряде Тейлора диффузионного члена будет иметь порядок 0[а(А Ах)], а величина суммарной ошибки для уравнения (3.165)-порядок 0(А2, Дх) Условие устойчивости для уравнения (3 165) будет определяться наиболее жестким из условий, связанных с конвективным членом, С = = иМ/Ах 1, и с диффузионным членом, d = aAt/Ax" /г. (Устойчивость для конвективного и диффузионного членов во многих случаях, но не всегда, можно исследовать раздельно; см., например, Касахара [1965].) Известной явной схемой, устраняющей ограничение, обусловленное диффузионным членом, является схема Дюфорта и Франкела [1953]. Эту схему для решения многих задач гидродинамики с успехом использовали разные авторы, например, Пейн [1958], Фромм и Хар-лоу [1963], Фромм [1963, 1965, 1967], Амсден и Харлоу [1964], Хын и Макано [1966], Торранс [1968]. В диффузионном члене уравнения (3 17) значение в центральной узловой точке заменяется средним по времени значением для (n-f 1)-го и {п - 1)-го слоев, что дает -YKt---Шх-+ «-Ш-• (3.166) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|