Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

И тогда

= «с - «с U, - [ I I+ I I(3.207)

<=/i

Рассмотрим случай, когда S не меняет знака ) при переходе от точки / к точке Тогда член, соответствующий ощибке, можно рассматривать как искусственный сток функции . Если же Ui < О, а «г+1 > О, то этот член можно рассматривать как искусственный источник 1,).

Так как на участке между точками / и / -f 1 существует точка, где « = О, то и «г+1 обычно малы и при уменьщении щага пространственной сетки ощибка, обусловленная неконсервативностью, стремится к нулю.

В двух модификациях схемы с разностями против потока можно устранить появление искусственного источника. Первая модификация основана на первой схеме с разностями против потока (3.176), когда скорость не меняет знак ни между точками t - 1 и t, ни между точками i я i1. Если же скорость меняет здесь знак, то конечно-разностная схема строится при помощи метода контрольного объема, охватывающего точку i). Итак, мы имеем

,3.208)

fi-\Ui\Zi, (3.209)

Г I при Ui i > о,

- = 1 О при«, ,<0 (З-)

Г о при «i+i>0, -ll«.>.IS.+. при«,,,<0. (3.211)

) Это всегда имеет место в том случае, когда в качестве t, рассматривается плотность (положительно определенная величина), входящая в уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости.

) В плоской задаче такая ошибка появляется только при условии, что составляющая скорости меняет знак при движении в направлении этой составляющей. Таким образом, если vi,, > О, а у,-, /+i < О, то ошибка, обусловленная неконсервативностью, появляется, но если У;,, > О, а , < О, то такой ошибки нет. Первая ситуация встречается в отрывных течениям, вторая - в случае, когда при обтекании составляющая скорости v меняет знак при переходе от лобовой части к кормовой без отрыва потока. Таким образом, разностные решения Скалы и Гордона [1967] консервативны.

) Такой частный случай в действительности эквивалентен применению схемы (3.176), когда скорость не меняет знак. Эта схема при расчета.ч используется вместо схемы (3.176) не во всех точках только потому, что в ней для вычислений и логических операторов IF при реализации программы на Фортране требуются несколько большие затраты машинного времени, чем в схеме (3.176).



3.1.11. Вторая схема с разностями против потока

Во второй схеме с разностями против потока, называемой также схемой с донорными ячейками (Джентри, Мартин и Дали [1966]), по каждую сторону от узловой точки пространственной сетки находятся некоторые средние значения скоростей на границах ячейки; знак этих скоростей определяет, из какого именно узла сетки надо взять значения для написания разностей против потока. В одномерном случае будем иметь

At ~ Ах

«»= 7. («,., + «,),

«L= V2(«i +«i-l)

(возможны и некоторые другие способы осреднения). Значения берутся так:

при «;г>0, f Сг 1 при > О,

Г при > О, Г

1 £ + 1 при Ur<Q, 1

при «i < 0.

Легко проверить, что эта схема является консервативной и транспортивной. Эту схему просто интерпретировать с точки зрения метода контрольного объема, если величины скоростей на границах ячеек находятся как средние значения, а соответствующие величины 1, определяются направлением потока. [Замечание. Если величины t, на сторонах ячеек определять тоже как средние, то получится схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, не обладающая свойством транспортивности.)

По сравнению с первой схемой с разностями против потока в рассматриваемой схеме требуется проведение дополнительных вычислений для скоростей: дополнительное численное дифференцирование функции тока я); для получения и и дополнительные расчеты средних значений (3.213). Однако эта схема точнее первой схемы при аппроксимации производной д{и1,)/дх, так

Легко проверить, что такая модификация делает первую схему с разностями против потока консервативной и транспор-гивной. При этой модификации требуется меньше арифметических операций, но по точности она уступает второй схеме с разностями против потока, к обсуждению которой мы теперь приступим.



AS, ul-ul; уЦи,+и)-Ч2Ци, + и At Ах Ах

(3.215а)

А 2л/ (3-2156)

что дает второй порядок точности для члена, описывающего конвекцию. Таким образом, вторая схема с разностями против потока обладает как свойством консервативности, так и свойством транспортивности и сохраняет кое-что от второго порядка точности, присущего схемам с центральными разностями для пространственных производных. Превосходство второй схемы над первой схемой с разностями против потока было фактически продемонстрировано Торрансом [1968] при расчете плоских течений.

Теперь можно объяснить удивительное согласование результатов (при Re = 100 отклонение менее 5%) рещения задачи о течении вязкой жидкости внутри замкнутой прямоугольной области с одной подвижной границей, полученных при помощи этой второй схемы и при помощи схемы второго порядка точности, использованной Торрансом. Вдоль средней части стенок, где применимо приближение пограничного слоя, влияние члена со схемной искусственной вязкостью осе мало (см. обсуждение в разд. 3.1.8). Вблизи же углов скорости хмалы, поэтому здесь коэффициент физической вязкости а > осе. А во вращающейся центральной части обласги течения вихрь меняется слабо, и поэтому рассматриваемая вторая схема имеет почти второй порядок точности в соответствии с уравнением (3.2156).

Схема Ранчела с соавторами [1969] алгебраически эквивалентна второй схеме с разностями против потока. За счет некоторых усложнений и увеличения числа арифметических операций в ней удается избежать связанных с определением знаков и и V логических операторов IF Фортрана. Прайс с соавторами [1966] в одномерном случае использовали неконсервативную схему второго порядка точности с разностями против потока. Конвективная производная при « > О здесь аппроксимировалась следующим образом:

5b5iz5i-±b- (3 216)

дх 2 Ах {6.Zib)

как сохраняет кое-что от второго порядка точности, которым обладают схемы с центральными разностями.

Рассмотрим случай, когда постоянно, т. е. = , = = ,+1 = , а и является функцией пространственной переменной. Тогда уравнение (3.212) принимает вид



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199