Запорожец Издания
мости. Пирсон [1964, 1965а] выполнил расчеты в предельном случае отсутствия конвективных членов, т. е. когда для стационарного течения уравнение (3.360а) сводится к уравнению V> = О (3.3606) с простейшими граничными условиями Дирихле. Он обнаружил, что даже в этом простом случае скорость сходимости на порядок меньше, чем в случае, когда решается система двух уравнений (для функции тока и для вихря). Действительно, известно, что наиболее эффективный итерационный метод решения бигармонического уравнения (3.3606), обшепринятый в задачах теории упругости, заключается в разделении этого уравнения на два уравнения Пуассона, если это допускается заданными граничными условиями (см., например. Том и Апельт [1961], а также Пальцев [1970]). Диас [1970] вычислял оператор Уг]: с помощью полиномиальных аппроксимаций четвертого и пятого порядков, но при этом возникали трудности с граничными условиями. Преимущество стационарного подхода особенно убедительно в том случае, когда стационарные уравнения являются параболическими по пространственной переменной, т. е. когда возможно или требуется «маршевое» продвижение решения по пространственной координате. К таким случаям относятся уравнения пограничного слоя, течения с химическими реакциями, имеющими конечные скорости, эффекты, которые зависят от предыстории лагранжевых частиц (разд. 6.4), и решение обратной задачи об отошедшей ударной волне (разд. 5.1.1). При решении задачи о течении газа с отошедшей ударной волной Кайрис [1970] пытался построить метод, соединяющий наилучшие свойства, присущие каждому из подходов (стационарному и нестационарному), взяв нестационарные формы уравнения неразрывности и уравнений количества движения и стационарные формы уравнений для температуры и для химических компонентов. Дэвис [1972] разработал метод решения уравнений Навье - Стокса, похожий на нестационарный метод, но обладающий некоторыми свойствами, присущими стационарным методам. Вычисления расщепляются по двум направлениям; в одном направлении расчет проводится по нестационарным уравнениям пограничного слоя с поправкой второго порядка на кривизну, а в другом направлении уравнения будут линейными. Вследствие используемых преобразований начальные условия для определения стационарного решения уравнений пограничного слоя получаются естественным образом. Начальное решение также фиксирует граничные значения на бесконечности, соот- ветствующие стационарному состоянию. (Преобразования также устраняют особенность на передней кромке в предельном случае плоской пластинки.) Для течений при больших числах Рейнольдса, когда уравнения пограничного слоя точны, сходимость достигается за одну итерацию. Для безотрывных течений при меньших числах Рейнольдса сходимость все еще достигается за сравнительно малое число итераций. Есть все основания считать, что этот метод будет широко применяться в будущем. Автор данной монографии также предложил несколько методов, которые отличаются от нестационарных подходов проведением итерирования (Роуч [1972]). Эти методы-метод, а котором итерируются уравнения типа уравнения Озеена (метод NOS), и метод, в котором итерируется только лапласиан (Laplace Driver method, метод LAD)-основаны на использовании последних достижений в решении линейных конечно-разностных уравнений второго порядка (см. разд. 3.2.1, 3.2.8 и 3.2.9). Разработка этих методов далека от завершения, но по крайней мере для некоторых типов течений они показали очевидное преимущество по сравнению с нестационарными методами даже в случае отрывных течений. Для решения уравнений, описывающих стационарное течение, неитерационные методы неприменимы из-за нелинейности этих уравнений. Однако методы, подобные рассматриваемым в разд. 3.2.1, 3.2.8 и 3.2.9, могут оказаться весьма эффективными для решения линеаризованных уравнений (например, уравнения для температуры, разд. 3.6). Таким образом, сравнивая итерационные стационарные и нестационарные методы, можно прийти к следующим выводам. 1) Некоторые стационарные методы в точности эквивалентны нестационарным методам, -причем регулирование множителя в схемах нижней или верхней релаксации эквивалентно изменению величины шага по времени АЛ Большинство стационарных итерационных методов по меньшей мере аналогичны нестационарным методам. Во всяком случае, такая аналогия показывает, что 2) Стационарные итерационные методы нельзя заведомо считать устойчивыми и их устойчивость должна быть исследована при помощи метода фон Неймана. 3) Программу на Фортране, написанную для нестационарного подхода, можно а) просто использовать для реализации комбинированного итерирования в стационарном методе, причем рассматривается критерий сходимости для уравнения Пуассона, и б) быстро превратить в метод Либмана или метод типа метода последовательной верхней релаксации (метод SOR) посредством использования оператора EQUIVALENCE. 4) Явные нестационарные методы, в которых после расчета каждого шага для уравнения переноса вихря итерируется до сходимости уравнение Пуассона, менее восприимчивы к неустойчивости, обусловленной нелинейностью уравнений, и поэтому менее чувствительны к начальным условиям. 5) Нестационарная формулировка дает большую гибкость при получении нестационарного решения, если оно представляет интерес, и - что более важно - не предполагает сушество-вания стационарного решения, которого в действительности может и не сушествовать. 6) Есть нечто привлекательное (с принципиальной и даже с эстетической точки зрения) в моделировании именно реального физического процесса, который в конце концов суше-ственно нестационарен. 3.1.23. Замечания к оценке методов; ошибки, связанные со свойствами схемы; компактные разностные схемы В предыдущих разделах был рассмотрен целый ряд численных методов для решения уравнения переноса вихря. Перед исследователем, который собирается пользоваться этими методами, встает вопрос об оценке этих методов применительно к интересующим его гидродинамическим задачам, а также вопрос о построении новых методов, если описанные здесь он найдет недостаточными. Основным фактором при оценке и построении численных методов является, очевидно, анализ ошибок конечно-разностного аналога. В обычных учебниках ошибки конечно-разностных уравнений классифицируются как ошибки округления и ошибки аппроксимации. Ошибки округления обусловлены конечностью длины слова у электронных вычислительных машин при представлении чисел в форме с плавающей запятой. Длина слова, или число значащих цифр, может быть только целым в системе счисления ЭВМ (обычно 2, 8, 10 и 16). Для современных американских ЭВМ при использовании одного процессора эквивалентная длина слова в десятичной системе меняется от 7 до 14 значащих десятичных цифр. Трудности исследования ошибок округления обусловлены тем, что эти ошибки приводят к качественному отклонению от нормального поведения; например, сложение и умножение чисел, представленных в форме с плавающей запятой, обладают свойством коммутативности, но в то же время не имеют свойств ассоциативности и дистрибутивности. (В работе Форсайта [1970] имеется прекрасное и общедоступное описание эффектов, к которым приводит ошибка округления.) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [ 51 ] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|