Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

линейная комбинация значений функции и нормальной производной, не решались. (Подобные условия возникают в задачах теплопередачи со свободной конвекцией при использовании ньютоновского «закона» охлаждения.) Кемпбелл и Кист [1968] показали, что условия этого типа могут привести к неустойчивости в расчетах уравнения диффузии из-за [шличия неограниченных решений у исходного дифференциального уравнения в частных производных, а Кист и Митчелл [1967] обнаружили, что решения уравнений эллиптического типа с такими граничными условиями не всегда можно получить при помощи нестационарного подхода. Какие-либо нелинейные граничные условия, например задание градиента квадрата функции, тоже никем и никогда не использовались.

3.3.1. О первостепенной важности численных граничных условий

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка dfldx = О определяет решение задачи с точностью до аддитивной постоянной; граничное условие позволяет определить эту постоянную. Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка df{x,y)/dx = 0 дает сравнительно мало информации о решении; такому дифференциальному уравнению в частных производных удовлетворяет любая функция g{y), и граничные условия должны определить эту функцию. Дифференциальное уравнение Уя]: = t, действительно дает очень мало информации о функции я];. Все многообразие течений как газов, так и жидкостей описывается решениями одних и тех же дифференциальных уравнений в частных производных, уравнений Навье - Стокса. Различные течения (т. е. решения) отличаются только граничными и начальными условиями, а также параметрами течения, такими, как число Рейнольдса Re.

Поэтому не удивительно, что задание численных граничных условий оказывает существенное влияние не только на устойчивость, но и на точность решения конечно-разностного уравнения. Следует удивляться другому: почему важность этих условий не была широко признана в течение многих лет (и, возможно, недооценивается даже в настоящее время). Ричардсон [1910] вполне определенно охарактеризовал важность граничных условий, но в последующие годы в большинстве работ внимание уделялось разностным схемам во внутренних точках. Одной из возможных причин этого было то, что основное внимание тогда уделялось задачам теплопроводности, в которых граничные условия, как правило, просты и однозначны. Другой причиной было отсутствие реальной возможности численных экспериментов с различными граничными условиями



3.3.1. о важности численных граничных условий

до тех пор, пока в повседневную практику не вошли электронные вычислительные машины).

Первые работы по изучению граничных условий (до расчетов на электронных вычислительных машинах) были выполнены

Саусвеллом и Апельтом

1946 [1961

Алленом и Саусвеллом [1955], Томом После появления ЭВМ одной из первых


Рис. 3.22. Границы расчетной области в задаче об обтекании обратного уступа. В 1 - осевая линия (линия симметрии), В 2 - наветренная часть твердой поверхности, В 3 - верхняя граница, В 4 -- входная граница потока, В 5 - основание уступа, В 6 - выходная граница потока.

работ по изучению различных типов граничных условий на конечной расчетной сетке была работа Томана и Шевчика [1966]. Статьи Чена [1968, 1970] и Моретти [1968б[, хотя и часто отражающие противоположные точки зрения, еще раз подчеркнули важность граничных условий. В частности. Чей [1970[, проводя численные эксперименты с уравнением Бюргерса, показал, что схемы высших порядков дают менее точные результаты, чем схемы иервого порядка при сеточных числах Рейнольдса Rcc > 1, именно из-за граничных условий и что ошибки на границах могут вдвое превышать ошибки аппрок-

) Кавагути [1953] рассчитал на механической настольной вычислительной машине одно-единственное решение задачи об обтекании кругового цилиндра при Re = 40, работая по 20 часов в неделю в течение полутора лет. Вряд ли можно было бы ожидать, чтобы он повторил расчеты для того, чтобы опробовать три различных вида граничных условий в выходном сечении потока, граничные условия первого и второго порядка для вихря на поверхности тела и т. П.



симации во внутренних точках. В этой же работе было отмечено, что существенное различие результатов, полученных Йен-сеном [1959] и Гамилецем с соавторами [1967] при рещении задачи об обтекании цилиндра вязким потоком, обусловлено именно ошибками на границах и что эти ошибки сохраняются даже при Ax-vO. Таким образом, представляется, что граничные условия в некоторых отношениях играют главную роль в вычислительной гидродинамике.

Именно эти аспекты, связанные с постановкой граничных условий в вычислительной гидродинамике, требуют подлинной артистичности снециалистов, которых за нее иногда обвиняют в ирименении знахарских приемов.

Обсудим граничные условия на примере плоской задачи об обтекании прямоугольного обратного уступа, изображенного на рис. 3.22, где представлены все тины границ, присущие составленной из прямоугольников области. (Криволинейные границы и соответствующие сетки будут рассматриваться в гл. 6.) К этому рисунку мы будем постоянно обращаться в этом разделе, а также и в гл. 6. Читателю стоило бы загнуть здесь уголок страницы или положить закладку.

3.3.2. Стенка в расчетной сетке первого типа

Твердая стенка, обозначенная на рис. 3.22 через В 2, соответствует наветренной части твердой поверхности, а В 5 - основанию уступа. На расчетной сетке первого тина значения функций 1) и будут определяться в узлах, расположенных вдоль этих стенок.

Так как линия В 2 - В 5-В1 является линией тока), на ней можно принять любое постоянное значение г} (обычно полагают г} = 0).

Особенно важно определить значения вихря на стенке. Уравнение (2.12) переноса вихря описывает распространение вихря за счет конвекции и диффузии, но вихрь % зарождается не во внутренних точках, а на границах, где ставится условие ирили-нания. Именно диффузия и последующая конвекция этого возникшего на стенке вихря фактически определяет содержание задачи. Некоторые ранее выполненные геофизические расчеты были неверными, так как в них значения t, на стенке определялись с помощью экстраполяции, что не имело ничего общего с физикой задачи

) Если необходимо моделировать проницаемую стенку, например на основании уступа, то скорость и вдоль основания может быть задана в виде и = f{y). Тогда ф можно определить интегрированием уравнения 6\)/6j/ = f(j/) вдоль основания от угловой точки С; см. замечания в разд. 3.3.6.

) С. А. Пиачек (личное сообщение).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199