Запорожец Издания
Разрешая (3.1) относительно df/dx, получаем 1,1 Д-< 1 df 2 дх Ах + ЧВП, Л-О [Ах), (3.2) где запись О (Ад;) читается так: «член порядка Ад;» и относится к членам, содержаш,им множители Ад;, Ах и т. д. Обозначим конечно-разностный аналог дЦдх через 6 бд;. Тогда для б 6д; при разностной аппроксимации вперед получаем выражение fj+i, i - fi.l I, I Ax (3.3) с ошибкой аппроксимации порядка Ад;, т. е. с первым порядком точности. Раскладывая /г-ь/ в окрестности точки (t,/), получаем для 6 бд; выражение при разностной аппроксимации назад: которое также имеет первый порядок точности. Центральная (симметричная) разностная аппроксимация 6f/6x получается как разность разложений ft-ut~fi,t - 1.1 + Ад; + 6 дх 1 df 2 дх Ад;2 + 24 dx* Ax* + 0{Ax) (3.5) л , dH Ад;2- 6 дх 24 dx* Ад;* + 0(Ад;5). (gg) Вычитая (3.6) из (3.5), получаем / - f.... / = 2 L [. Ад; +1 1 A.3 + ЧВП. Разрешая относительно дЦдх, имеем Аг + ЧВП U+i,l-h-x,l 1 df 2 Ах 6 дх - "Ili" +0{Ах\ (3.7) Таким образом, центральная разностная аппроксимация дает выражение ft-H, /-f-i, / (3.8) с ошибкой аппроксимации порядка Ах, т. е. со вторым порядком точности. Аналогично можно получить выражения для производных по у я t; например, центрально-разностный аналог df/dt имеет вид п m+l СП- 1.1 2М (3.9) Выведем теперь центрально-разностный аналог dfjdx. Складывая (3.5) и (3.6), имеем fi+i./ + fi-i./ = 2f,,/4- t.i 12 дх* Ах" + ЧВП. (3.10) Разрешая (3.10) относительно дЦдх, получаем fi + \, I + fi-l, I ~f{, I x» 0(Ax2). Из (3.U) для 62f/6x2 имеем (>f f{+ul + fi-i.i-ki "SF" t, t Ал (3.11) (3.12) CO вторым порядком точности. Упражнение. Вывести выражение (3.12), применяя формулу (3.8) к g - dfjdx. Использовать полушаги Дл/2, так что (3.8) примет вид gf+1/2, 1 - 8{-Щ / (3.13) Упражнение. Вывести разностный аналог бЦбхбу для смешанной производной дЦдхду: fi+i,i-\-i~h+hl-i~fi-\,l+i + fi-i,i-i ЬхЬу 4ДлДу (3.14) Вывести (3.14) двумя способами: сначала применить (3.8) к g = а за- тем использовать разложение в ряд Тейлора по переменным х vi у. Заметим, что в первом способе при недостаточно аккуратном отбрасывании остаточных членов высшего порядка получается выражение только с первым порядком точности. Во втором способе при тщательном рассмотрении членов высшего порядка можно показать, что формула (3.14) имеет второй порядок точности с ошибкой аппроксимации Е = ©(Дл -- Ду*)- Заметим, что ЬЩЬхЬу, определенное формулой (3.14), удовлетворяет правилу для непрерывных функций df/dxdy == ооо 009 Рис. 3.2. Схематичное предсгавление пятиточечного аналога уравнения Лапласа; Р = Ах/Ау. Левая схема соответствует произвольному значению Р, правая - Р=1. производных. Например, уравнение Лапласа V/ = df/dx + df/dy = О будет иметь разностный аналог "5F - д2 -1- д2 - и, /.+1, / + f,•-.,/ + ifi, /+1 + fi, i-i) - 2 (I + р2) , = 0. (3.15) где р - отношение размеров шагов, = Ах/Ау. Это так называемый пятиточечный аналог уравнения Лапласа. При р=1 получается известное уравнение / = / + fi-b I + fi. /+1 + fi. /-i), (3.16) которое означает, что / является средним значением / в четырех соседних точках. Эти формулы схематично изображены на рис. 3.2. Используя для аппроксимации пространственных производных и производной по времени разностные выражения второго порядка точности, линейное модельное уравнение (2.18) можно записать в виде Ш---Ш др > = df/dydx. Всегда желательно, чтобы при прочих равных условиях наши конечно-разностные уравнения хорошо моделировали качественное поведение дифференциальных уравнений. Многие другие такие же случаи будут отмечены ниже. Комбинации полученных конечно-разностных выражений для частных производных можно использовать для написания конечно-разностных формул дифференциальных уравнений в частных 0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|