Запорожец Издания
с постоянными значениями я];, само это значение ф не задается, а определяется в процессе счета. Роуч и Мюллер [1970] моделировали стенку трубы, фиксируя 1 на входной границе и считая, что ВЗ является линией тока, но модельное условие отсутствия трения на «крышке» для t, получалось менее ограничительным способом. Желательно, чтобы «крышка» не обладала трением, т. е. допускала скольжение, хотя в то же время на самое жидкость вблизи «крышки» должно действовать трение. Заметим, что если на «крышке» V = О, то на ней ди/дх == О и = ди/ду. Таким образом, условие = О приводит к условию ди/ду = 0. Делая следующий шаг к условиям свободного движения на верхней границе, полагаем ?(ВЗ) = ?,,;=?,, ,. (3.463) Для интерпретации этого условия в терминах скорости заметим, что формула (3.461) дает dvldx\j = 0. Если граница ВЗ расположена достаточно далеко от стенки В 2, так что ц(ВЗ) меняется почти линейно по х (т. е. если duldx\j = 0-}-O(Ay)), то можно показать, что dv/dx\j-\ = ОО {Ау) и условие (3.463) приблизительно эквивалентно линейной экстраполяции составляющей скорости и на «крышку»). Экстраполяции высших порядков для t, приводят к быстрому развитию неустойчивости или к смещению решения. Последний способ лучше моделирует условие «свободного полета», чем способ с «движущейся стенкой трубы» (формулы (3.458) и (3.459)), хотя привести достаточные основания в общем случае довольно трудно. Но способ с «движущейся стенкой» обладает тем достоинством, что правильно моделирует некоторую физическую задачу. Единственный остающийся открытым вопрос (помимо вопроса об ошибках аппроксимации) заключается в том, насколько хорошо эта физическая задача аппроксимирует интересующую нас задачу, т. е. случай «свободного полета». Последний из рассмотренных способов, однако, менее ограничителен. Существуют и другие способы моделирования условия «свободного полета», фактически допускающие протекание через верхнюю границу В 3. Для течения при достаточно больших Re можно использовать аналитическое решение, соответствующее потенциальному течению, с тем чтобы фиксировать х1р вдоль границы ВЗ. Том [1933] для построения граничных условий ) В работе Томана и Шевчика [1966] при решении задачи об обтекании кругового цилиндра более жесткое условие ? = О было необходимо только в случае вращающегося цилиндра. Если же вращение отсутствовало, то вполне удовлетворительные результаты получались и при условии dujdy « 0. (.Пичпое сообщение.) ) Графические или численные решения для такого потенциального течения, по-видимому, предпочтительнее, чем простое аналитическое решение для обтекания цилиндра, которое плохо согласуется с конечно-разностными решениями. брал графическое решение о потенциальном обтекании цилиндра ). В течениях при малых Re для задания я t, вдоль ВЗ можно исходить из решения Стокса, а при больших Re для этих целей подходит решение Озеена. Но предпочтительнее брать градиентные условия по этим решениям; градиентные условия не столь жестки, а ошибки при этом склонны к затуханию (Чен [1970]). Эти способы, по-видимому, не перспективны при моделировании задач, подобных задаче об обтекании обратного уступа, в которых влияние области отрывного течения преобладает над эффектом отклонения потока от прямолинейного и для которых нет удобных решений ни при каких числах Рейнольдса. Брили [1970] решил задачу об отрыве пограничного слоя на плоской пластинке, задавая скорость и на границе В 3 условием линейно замедленного течения Хоуарта u = Uo{x) = a + bx (3.464) до некоторого xi, такого, что дс(отрыва) << л;1 <;-а/Ь, и выбирая далее и = const при х Xi. Помимо выполнения условия t = О на границе В 3 такое задание и приводит к отрыву пограничного слоя на В 1 и его вторичному присоединению. Данный способ допускает протекание через границу В 3 и дает устойчивость при расчетах. Он также обладает тем достоинством, что имеется неавтомодельное точное решение для пограничного слоя, с которым можно сравнивать выражение (3.464) вплоть до отрыва потока. Бао и Догерти [1969] брали вдоль границы ВЗ условия д/ду = Q и (921з/(9г/2 = 0. Как будет показано в разд. 3.3.7, достаточность этих условий зависит от вида входной и выходной границ потока. В некоторых метеорологических задачах воздействие ветра на поверхность жидкости представляется тем, что на некой недеформируемой поверхности ставится условие г)(ВЗ) = = const и задается постоянное «ветровое напряжение», т. е. задается (В3) = const (см. Феста [1970[). 3.3.6. Условия на входной гран-ице потока Граничные условия на входной границе потока В 4 (рис. 3.22) нельзя представить единственным образом, поскольку они будут меняться в зависимости от физических условий вверх по потоку от рассматриваемой границы и зависят от решения В исследуемой области. До появления работы Томана и Шевчика [1966] все авторы полностью задавали граничные условия на входной границе потока. Например, Кавагути [1965] для того, чтобы фиксировать на этой границе как if, так и при решении задачи о течении во внезапно расширяющемся канале, брал решение для полностью развитого течения Пуазейля. Том [1933] ставил условия потенциального потока для решения задачи о поперечном обтекании цилиндра. Бреннен [1968] применял решение о потенциальном течении для того, чтобы задать на входной границе градиент if, а не самое функцию if. Этот менее ограничительный способ является предпочтительным. Фромм [1963, 1967], Харлоу и Фромм [1963] и Катсанис [1967] задавали на входной границе равномерный поток со скоростью и(1,/) и полагали у(1,/) = 0. Бао и Догерти [1969] задавали = О и д-ф/ду = Uq, фиксируя if. Гринспэн [19696] фиксировал if и полагал dv/dx = О, что дает = djdy. Как бы ни была ограничительна эллиптическая природа уравнений, совсем не очевидно, что следует полностью задавать граничные условия на входе, но в то же время что-то должно быть задано. Даже фон Нейман (Чарни с соавторами [1950]) смог привести лишь эвристические аргументы в пользу того, что на входной границе достаточно задавать только величину . Томан и Шевчик [1966] ставили менее жесткие условия на входной границе перед цилиндром. Они потребовали, чтобы и(1,/)= О, что приводит к условию if,,,==if2,/. (3.465) Это условие дает возможность находить м(1,/) в процессе вычислений. В постановке этих авторов на верхней границе В 3 задается и = Uq, а if(B3) также получается в результате расчета. При использовании условия (!з.465) влияние вверх по потоку сказывается даже на входной границе. При изучении задач, подобных задаче о течении около обратного уступа (рис. 3.22), влияние вязкости важно на входной границе, поэтому желательно фиксировать U],f, а fj, / дать возможность развиваться свободно. Роуч и Мюллер [1970] задавали ifi,/ при помощи решения уравнений пограничного слоя, фиксируя таким образом (9if/(9i/i,/= Mi,/. Это также означает, что фиксировалась производная dxlp/dy] = = du/dy\\j, являющаяся первым членом в выражении для вихря ti,! = ди/ду\] j - dv/dx\\,j. Второй член также можно было задать при помощи решения для пограничного слоя, но вместо этого авторы брали менее жесткое условие. Оказалось, что лучше всего получать эту величину из условия 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [ 73 ] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|