Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 [ 115 ] 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

ударная волна не сможет распространяться вверх по потоку. Поэтому при численном моделировании было бы невозможно отключить приток воздуха в сверхзвуковую аэродинамическую трубу!

1) Именно это свойство обеспечивает широкое применение метода характеристик; оно позволяет сращивать различные области течения вдоль характеристик.

) Макнамара [1967] ссылается на Трулно [1964], показавшего, что для схем с продвижением решения по времени ирн разрывных производных ошибка аппроксимацнн стремится к нулю не быстрее чем (Дл) * 2.

Отметим, что Р не является иерспосимой величиной в выражениях дР/дх и дР/ду, но является нереносимой величиной в уравнении энергии в члене V-(VP), характеризующем работу сил давления; соответственно для конечно-разностного представления этого члена можно применять разности против потока.

Основное различие свойств систем уравнений для сжимаемой и для несжимаемой жидкости состоит в том, что в первой системе не содержится эллиптических уравнений тина уравнения (5.27), и, таким образом, система уравнений для невязкой сжимаемой жидкости является чисто гиперболической.

Конечно, по-прежнему было бы весьма желательно сохранить второй порядок точности анироксимации, присущий схемам с центральными разностями но пространственным переменным, как это было в случае несжимаемой жидкости. Однако в случае сверхзвуковых течений для достижения свойства транснортив-ностн приходится жертвовать немногим. Оценка точности ан-проксимации центральными разностями, проведенная в разд. 3.1.1, основана на разложении функций, описывающих течение, в ряды Тейлора в нредположении непрерывности этих функций и их производных. Однако в случае сверхзвуковых течений невязкого газа производные, входящие в уравнения, не обязательно будут непрерывными. Действительно, характеристики определяются как линии, при переходе через которые производные могут претерпевать разрыв (Курант и Фридрихе [1948], Шаниро [1953])). Значит, разложения в ряды Тейлора здесь не всегда пригодны, и в случае сверхзвуковых течений снижение точности анироксимации не столь важно 2).

В течениях вязкого газа характеристик не существует и приведенные выше соображения теряют силу. Тем не менее при выборе разностных анироксимации для конвективных членов кажется разумным руководствоваться свойствами уравнений течений невязкого газа. Теоретически такой подход не обоснован, однако он подтверждается успешным применением метода характеристик для расчета реальных течений с малыми эффектами вязкости.

Лаке [1969] показал, что схема с разностями против потока дает очень хорошие результаты при расчете скачка в случае уравнения Бюргерса при отсутствии вязкости, но терпит неуда-



чу в случае полной системы уравнений для сжимаемой жидкости, а также (что весьма удивительно) в случае линеаризованного уравнения Бюргерса при отсутствии вязкости. Таким образом, расчеты по нелинейному уравнению более точны, нежели но линейному уравнению.

5.5.3. Метод частиц в ячейках и метод жидкости в ячейках

Широко известен метод частиц в ячейках (метод PIC), первоначально предложенный Харлоу и Эванс [1957]. Происхождение этого метода отличается от происхождения других методов тем, что при его развитии основное внимание обращалось не столько на моделирование решений дифференциальных уравнений в частных производных, сколько на моделирование основных физических процессов при помощи рассмотрения дискретных частиц. Этот метод определенно можно назвать методом численного моделирования. Расчеты по этому методу проводятся на каждом слое по времени в несколько этапов, причем сначала по вкладам давления вычисляются некоторые промежуточные величины, относящиеся к ячейке расчетной сетки, а затем проводится расчет конвективных эффектов.

Метод частиц в ячейках слишком сложен для того, чтобы описывать его здесь во всех подробностях. Самая уникальная его особенность состоит в том, что здесь моделируется не движение сплошной среды, а рассматривается набор конечного числа дискретных частиц; их иеремещение через ячейки расчетной эйлеровой сетки рассчитывается при помощи лагранжевых уравнений, позволяющих определить их координаты и скорости. Эти частицы не являются просто маркерами, как это имеет место в методе маркеров и ячеек (см. разд. 3.7.4), а действительно входят в расчеты даже при отсутствии свободных поверхностей и поверхностей раздела сред. Осредненные по ячейке значения термодинамических функций определяются числом частиц в ячейке. При исиользовании всего лишь шести частиц на одну ячейку в среднем и трех частиц на одну ячейку локально были обнаружены высокочастотные осцилляции величин плотности и давления в ячейках, как и следовало ожидать.

Из метода частиц в ячейках развился метод моделирования движения сплошной среды, известный под названием метода жидкости в ячейках (метод FLIC). Алгоритм этого метода был разработан Джентри, Мартином и Дали [1966] на основе более ранней работы Рича [1963] ). Они упразднили рассмотрение

) О. М. Белоцерковский и Ю. М. Давыдов в статье «Расчет трансзвуковых течений методом «крупных частиц»» (Численные методы механики сплошной среды, 1970, т. 1, № 3) разработали численный метод крупных



дискретных частиц метода частиц в ячейках, но сохранили большинство других его аспектов.

Метод жидкости в ячейках является двухшаговым. На первой стадии его первого шага вычисляются предварительные значения «"+, только при учете вкладов от членов с градиентом давления и членов с явной искусственной вязкостью, если таковая вводится. (Обычно исиользуется член с искусственной вязкостью вида (5.10).) Уравнения записываются в неконсервативной форме. Затем вычисляется предварительное значение внутренней энергии ио уравнению энергии, в котором учитывается только член с давлением:

.1= V-Ve-PV-V , (5.30)

а также члены с искусственной вязкостью. Дивергенция скорости V-V находится ио средним значениям скорости, которая, например, для составляюшей и рассчитывается какй,. , = /2 ("",+

--«Y)> причем предварительное значение «"+ уже определено; аналогично находится среднее значение и для составляющей v.

На втором шаге производится только учет вклада от конвективных членов. При помощи схемы с донорными ячейками (вторая схема с разностями против потока, см. разд. 3.1Л 1) по пред-варительным значениям составляющих скорости и вычисляется ноток массы через каждую из сторон ячейки. По потоку массы находится новое значение плотности р"+, а далее конвективные вклады в значения и, v и e.s = Es/p. Заметим, что эти окончательные конвективные вклады надо прибавлять к предварительным значениям «"+ и т. и., а не к первоначальным значениям «" и т. п.

Вычисления по методу частиц в ячейках проводятся аналогично, за исключением того, что ноток массы находится ио конечному числу частиц, притекающих из донорной ячейки. Частицы не располагаются в центре ячейки, а каждая частица р имеет свои лагранжевы координаты Хр и ур. Частицы перемещаются с осредненной скоростью, которая определяется по такой же формуле, что и в методе маркеров и ячеек (см. формулу (3.605) разд. 3.7.4). Если частица пересекает сторону ячейки, то за счет ее массы, количества движения и внутренней энергии меняются соответствующие средние величины в новой ячейке и по этим величинам вычисляется давление в этой ячейке. Как было отмечено выше, возникающие мгновенные сгущения и разрежения частиц в ячейках вызывают хаотические высокочастот-

частиц; его разностная схема, отличающаяся от схем PIC и FLIC, консервативна и устойчива без введения явной искусственной вязкости, а схемная вязкость позволяет вести сквозной расчет ударных воли. - Прим. ред.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 [ 115 ] 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199