Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

По-видимому, любую устойчивую одномерную схему можно применять и в случае двух пространственных переменных, когда проводится расщепление по времени, причем условия устойчивости для одномерной схемы не меняются. В задачах обтекания тел такое расщепление по времени приводит к трудностям, связанным с граничными условиями на промежуточном шаге. Как мы увидим, для вычисления граничных значений на поверхности тела используются значения функции тока гз во внутренних точках, но вычислять значения на промежуточном шаге, кажется, не имеет смысла.

При достаточно малых шагах по времени на втором шаге схемы (3.254), вероятно, можно брать значение " с предшествующего слоя по времени. Как влияет такая постановка граничного условия на устойчивость и точность какой-либо схемы расщепления по времени, пока что не установлено. (При решении метеорологических задач, рассматривавшихся Лейтом, трудностей не возникает.) Фромму [1971] при помощи введения в одношаговую схему членов со смешанными производными удалось добиться устойчивости в схеме, которая была устойчива в одномерном случае и неустойчива в двумерном.

Расщепление по времени может привести помимо улучшения устойчивости и к улучшению точности (см. следующее упражнение) .

Упражнение. Применить схему с разностями против потока в случае двух пространственных переменных и отсутствия вязкости для уравнения переноса с постоянными коэффициентами

dt дх ду

Показать, что схема расщепления по времени в отличие от схемы без расщепления приводит к точному рещению, когда числа Куранта uAt/Ax = 1 и vAt/Ay = 1.

Некоторые схемы, аналогичные схеме Лейта, обсуждаются в работах Касахары [1965] и Фишера [1965а]. Эти схемы и схема Лейта похожи на схему Лакса - Вендроффа и ее двухшаговые варианты, которые будут рассматриваться в гл. 5. Хотя схемы Лакса - Вендроффа были разработаны для течений сжимаемой жидкости, они представляют интерес и для течений несжимаемой жидкости (Лилли [1965]), несмотря на то что эти схемы приводят к сильному затуханию коротковолновых возмущений.

Другие схемы, построенные на идее расщепления по времени и обладающие лучшими дисперсионными свойствами, будут рассматриваться в следующих разделах, а сейчас мы продолжим обсуждение некоторых более простых схем.



3.1.14. Неявные схемы

Рассмотренные выше схемы являются явными, т. е. в них для вычисления значений на {п-\-1)-м слое по времени необходимы только известные значения на п-м, (п- 1)-м, ... слоях. Теперь приступим к обсуждению неявных схем, в которых в пространственных производных используются значения на п + 1 слое по времени и поэтому для продвижения расчета нужно одновременно решать систему уравнений на Аг + 1 слое.

Запишем общую схему для модельного уравнения, описывающего течение невязкой жидкости, в следующем виде:

Г+ = Г-(«АО№. (3.255)

Здесь будет рассматриваться представление пространственной производной только центральными разностями, так что

4г = кг- (3.256)

где слой по времени п пока еще не определен. Аналогично, для уравнения диффузии положим

"+1 = " + (аА/)5б/. (3.257)

Если пространственные производные в (3.255) или (3.257) выписать на п-м слое ио времени, то получится рассмотренная ранее явная схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной и с ошибкой порядка О (At, Ах). Если же член б/бх в уравнении конвекции (3.255) записать на новом (п + 1)-м слое, то получится так называемая полностью неявная схема

S"+ = S"-(«A0CV6- (3.258)

Ошибка при этом по-прежнему имеет порядок 0{At,Ax), но эта схема обладает существенным преимуществом в смысле устойчивости. Исследуя устойчивость методом фон Неймана и полагая C = uAt/Ax, получаем

уп+1 уп 2) {е" - е-"), (3.259)

Г+(1-f C/sin9)=r, (3.260)

Р 1 1 - С/ sin е /Q ОС п

i-bc/sine i-bcsine (cs.zoi;

I [l + C sin2 e]2 ~" 1 -f C2 sin e • (Ci.zo/:;

Таким образом, для полностью неявной схемы имеем G <С 1 независимо от величины С. Данная схема абсолютно устойчива.



что дает возможность вести расчеты с произвольно большим шагом по времени, а это является большим преимуществом.

Полностью неявная схема первого порядка точности абсолютно устойчива также и для уравнения диффузии) (Лаасо-нен [1949], Рихтмайер и Мортон [1967]). При d = aAt/Ax получаем

= g« а At6Y/(>x\ (3.263)

yn+i уп yn+i (т -/е (3.264)

1/«+[1 2fi((cose-1)] = 1/", (3.265)

-l+2c/(l-cos9)- (3.266)

Так как 1 - cos 90 для любых 9, имеем G 1 для любых d или любых At. Заметим также, что С > О для любых 6; как было указано ранее, это условие отвечает случаю, когда осцилляции, обусловленные чрезмерно большим шагом по времени, отсутствуют.

Упражнение. При помощи метода фон Неймана убедиться в том, что полностью неявная схема абсолютно устойчива для уравнения, включающего конвективный и диффузионный члены.

Упражнение. Используя, как в методе Хёрта, разложения в ряды Тейлора, показать, что в нестационарном случае схемная вязкость полностью неявной схемы имеет вид = иМ12. {Указание. Для упрощения вычислений разложение проводить в окрестности точки (г, п-f 1).)

Если В уравнении конвекции (3.255) величину б/бл; вычислять как среднее значение на п-м и (п-[- 1)-м слоях, то будем иметь

„+1 = g« I („ At) + . (3.267)

Лилли [1965] назвал эту схему «модифицированной схемой Эйлера» (схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным называется схемой Эйлера 2)). Данная схема также неявная, но поскольку осреднение центрирует пространственную производную относительно (n+Va), как и в схеме «чехарда со средней точкой» (см. разд. 3.1.6), ошибка имеет порядок OiAfi/Ax.). Множи-

) Предыдущие примеры могли бы навести на мысль, что разностные схемы, с успехом используемые для уравнения конвекции, обычно неприменимы к уравнению диффузии. Но это эмпирическое правило неприменимо дли неявных схем.

2) Данная схема называется также схемой Кранка - Николсоиа. Как будет указано ниже, это название лучще подходит к схеме для уравнения диффузии, такой, как схема (3.273).

t-i-l -



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199