Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

3.3.5. Верхняя граница 229

рость и симметрична относительно центральной линии; здесь ди/ду = 0. Таким образом,

?ц.л. = 0. (3.457)

Наряду с условием ifi = О нельзя использовать условия симметрии для производных от 1]), так как это переопределило бы задачу для уравнения Пуассона.

В случае осесимметричного течения в цилиндрической системе координат имеем = V X V и условие (3.457) по-прежнему выполняется. Но уравнения в этом случае удобнее записать для t, = t,lr, где г-локальный радиус, причем на центральной линии г= 0. Торранс [1968] указал, что на центральной линии величина t, хотя и ограничена, но не равна нулю.

Ранчел и Вольфштейн [1969[, рассчитывая струю, ударяющую о стенку под прямым углом, брали условие симметрии = О вдоль прямой, образующей угол 45° со стенкой и с центральной линией струи). Строгая симметрия в этом случае имеет место только для потенциального течения, но в этой работе она принималась в качестве приближения для течения при больших значениях Re.

3.3.5. Верхняя граница

Верхняя граница (граница В 3 иа рис. 3.22) также представляет большой интерес при постановке задачи. Конечно, можно выбрать такие физические задачи, в которых граничные условия на верхней границе очевидны; например, в задаче о течении в несимметричном расширяющемся канале граница В 3 будет твердой стенкой с условием прилипания и иа ней будут применимы формулы для расчета вихря, полученные в разд. 3.3.2. Величина if иа границе ВЗ постоянна и может быть найдена при помощи интегрирования профиля скорости и во входном сечении В 4 канала (см. разд. 3.3.6). Этой задачей занимался Кавагути [1965]. Если же рис. 3.22 рассматривать как нижнюю полуплоскость задачи о течении в симметричном расширяющемся канале, то в силу условий симметрии (как и в случае разделяющей пластины с условием скольжения иа центральной линии в разд. 3.3.4) иа границе ВЗ будем иметь ? == 0. Величина 1]) в этом случае также получается интегрированием профиля скорости и иа границе В 4. Если же условия симметрии ставятся и иа В 1, и на В 3, то это будет соответствовать элементарной части поля течения при обтекании бесконечного ряда

) Заметим, что вихрь ? определяется векторным оператором ? = = ± V X V и поэтому инвариантен по отношению к повороту системы координат. Таким образом, равенство ? = О будет справедливо вдоль любой линии симметрии независимо от ее ориентации.



прямоугольных тел (практически они могут представлять собой, например, ряд ребер теплообменника).

Если рассматривается течение в неограниченной по у области, то на В 3 надо поставить условие отсутствия границы как при «свободном полете»; в этом случае выбор граничных условий уже не столь очевиден.

Первое, что приходит на ум, это моделировать В 3 стенкой аэродинамической трубы с условием прилипания. Из экспериментов в аэродинамической трубе известно, что с увеличением расстояния между стенками трубы уменьшается «блокировка» трубы, а течение вблизи тела будет соответствовать течению при свободном полете тела. Однако ограниченность времени и оперативной памяти вычислительных машин приводит к ограничению числа точек сетки, а требования точности ограничивают размер шага Аг/ пространственной сетки, поэтому существует ограничение на размер области, аналогичный размеру рабочей части аэродинамической трубы. (Сетки с переменным шагом по пространственным переменным и преобразования координат для задач такого типа будут рассмотрены в гл. 6. Даже при использовании таких приемов расчет граничных условий, описанных здесь, остается справедливым.)

Можно добиться существенного улучшения, рассматривая границу В 3 как движушуюся стенку трубы; так делается в работах Фромма [1963] и Фромма и Харлоу [1963]. В этих работах на границе ставились условия v - О и и= Uq, где Uq можно интерпретировать как скорость невозмущенного потока). Тогда граничные условия для системы уравнений, определяющих 1]) и X, будут условиями для движущейся стенки с условием прилипания на ней, т. е. ф = const, а (см. предыдущее упражнение) находится по формулам

+0(Д) (3.458)

Uj-----f 0(А2) (3.459)

Формулу (3.458) с успехом применяли Кемпбелл и Мюллер [1968].

Другим усовершенствованием при моделировании физической стенки аэродинамической трубы является применение модели «стенка без трения». Значение ф (ВЗ) в этом случае остается

) Продолжая аналогию с аэродинамической трубой, заметим, что практически движение стеикн трубы с постоянной скоростью реализуется при помощи движущейся по роликам ленты; при испытании автомобилей в аэродинамической трубе это используется для моделирования влияния близости дорожного полотна.



постоянным, а вихрь определяется при помощи концепции «зеркального отражения», применяемого для определения поправок на блокировку аэродинамической трубы. в этом случае симметрия приводит к условию цвз)= 0. Это граничное условие принималось в работе Йенсена [1959] для решения осесимметричной задачи о течении в круглой трубе. Томан и Шевчик [1966] использовали подобный подход, оказавшийся, однако, менее ограничительным, поскольку рассмотрение граничного условия проводилось иа соседней граничной линии. Здесь ставились условия, как иа бесконечно удаленной границе, т. е. задавалось 1 = 0 при дф /ду = и = Uo я дф /дх - -v = 0. Условие Неймана вдоль в 3 с учетом Uq дает

Ф.-,/ = Ф,-./-1 + оАг/. (3.460)

Если считать, что "граница в 3 совпадает с линией / = /, то условие (3.460) имеет только первый порядок точности. Но принимая, что вз лежит между линиями / = / и / = /- 1, и обозначая ее через (t,/-72),мы обеспечиваем для условия (3.460) второй порядок точности ). Этот момент часто понимают неправильно. в действительности вопрос заключается не в том, какова будет ошибка аппроксимации в формуле (3.460), если положить и= Uq вдоль в 3, а в том, насколько хорошо условие и = Uq вдоль в 3 аппроксимирует условие «свободного полета», которое мы хотим смоделировать. Условие v -- О вдоль в 3 означает д-ф/дх = о вдоль в 3. Если граница в 3 иаходится иа линии (/, /), то

г1,(вз) = г1,,,; = г1„,;; (3.461)

если же в 3 иаходится иа линии (t,/-/г), то, учитывая формулу (3.460), получаем

b.J = b.j-i + UoAy. (3.462)

в этих формулах ifi,/ и i[ii,/ i суть значения, соответствующие верхним точкам левой входной границы потока в4 иа рис. 3.22. Если значения if полностью заданы на входе потока, то такая постановка эквивалентна тому, что иа границе вз стенки трубы не обладают трением. Если же значения if на входе не заданы, а определяются в процессе вычисления, как это сделано в работе Томана и Шевчика [1966[ (см. разд. 3.3.6), то такая постановка менее ограничительна. При ней поток массы через «рабочую часть трубы» не задается заранее, и хотя верхняя граница в 3, «крышка», по-прежнему является линией тока

) Другой прием заключается в том, чтобы поместить В 3 на линии / = / - 1, а иа линии / = / ввести «фиктивные» точки таким образом, чтобы вдоль В 3 получить U(, из равенства ф;, / = i5i, 1-2 -Ь 2UoAy.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199