Запорожец Издания
нужны для уравнения. Таким образом, расчет положения частиц оказывает обратное влияние на расчет динамики течения. При этом возможно ноявление таких аномалий, как возникновение неустойчивости, связанной с нелинейностью, и эффекты численного поверхностного натяжения. Существенное усовершенствова]ше метода MAC, связанное с введением дробных ячеек и вычислением положений маркеров, предложили Чей с соавторами [1969, 1970] и Николе [1970]. Папьяни [1968] решал методом MAC задачу о естественной конвекции. Дали [1969а, 19696] предложил вариант метода MAC для изучения течения двух жидкостей в цилиндрической системе координат, включая детальный расчет поверхностного натяжения. Дали и Прахт [1969] также применили метод MAC в случае течения двух жидкостей и переноса раствора для изучения волн плотности. Используя приемы, разработанные для расчета свободной поверхности, Вьечелли [1969] в рамках метода MAC предложил остроумный способ рассмотрения заданных криволинейных поверхностей на прямоугольной сетке. На каждом шаге по времени задается такое внешнее давление, которое заставляет «свободную поверхность» принимать форму, соответствующую требуемой форме границы. Метод MAC применяли также Хуан [1968], Гоэйн и Притчетт [1968], Слотта с соавторами [1969], Донован [1968, 1970], Кроули [1970а], Путре [1970], Митчелл [1970] и Истон [1969 . В упрощенном методе маркеров и ячеек (метод SMAC; см. Амсден и Харлоу [1970а, 1970в]) давление не рассчитывается, но уравнение неразрывности для скоростей удовлетворяется непосредственно. Здесь используются некоторые приемы, характерные для методов решения системы уравнений для неременных гз и , и упрощается постановка некоторых граничных условий. В методе маркеров и ячеек для малых чисел Рейнольдса (метод MACRL), предложенном Прахтом [1971], для членов, описывающих диффузию и содержащих градиент давления, используется неявный итерационный подход. Уравнения, записанные в неявной форме, разрешаются итерацпонным методом, включая уравнение Пуассона и граничные условия. В методе маркеров и частиц, модифицированном в Станфордском университете (метод SUMMAC; см. Чен и Стрит [1970], Чен с соавторами [1971]), усовершенствован расчет граничных условий на свободной поверхности. 3.7.5. Другие методы решения уравнений для простейших физических переменных Своеобразный метод нахождения стационарного решения уравнений для физических переменных предложил Чорин [1968] (см. также Чу [1968]); впоследствии этот метод применял Плоус [1968]. Решение задачи о течении несжимаемой жидкости находится как предел решения нестационарных уравнений, содержащих член, соответствующий искусственной сжимаемости и стремящийся к нулю по мере приближения к стационарному состоянию. Аналогичную идею использовали в методе дробных шагов Владимирова, Кузнецов и Яненко [1966]. Заметим здесь вкратце, что в общем случае для расчета течения несжимаемой жидкости не следует брать полные уравнения для сжимаемой жидкости и просто полагать в них число Маха малым (более подробно этот вопрос будет освещен в разд. 5.1). Не рекомендуется также применять следующее уравнение для давления: DP дР дР дР дР , д{иР) , д{уР) ,„ кпкч Dt ~~ dt дх ду dt дх ду (см. Шлихтинг [1968]). Это уравнение основано на уравнении энергии для малых значений числа Маха. Из-за такой связи с уравнением энергии уравнение (3.606) является гиперболическим ) в отличие от эллиптического уравнения Пуассона для давления. Хотя это уравнение гиперболического тина правильно, оно позволяет распространяться волнам, которые оказываются доминирующими при исследовании устойчивости. Здесь следовало бы проводить решение при помощи неявных схем, но точность будет ограничена из-за этих нежелательных решений, соответствующих волновым течениям жидкости. Известно (Чарни с соавторами [1950]), что уравнение Пуассона предпочтительнее, поскольку при его решении такие волны подавляются. Метод Колленса [1970] дает возможность получить решения, справедливые только для стационарного случая. Ошибка аппроксимации этого метода имеет порядок 0(Ах, Ау). Несмотря на то что в этом методе учитываются все члены в полных уравнениях Навье - Стокса, ои приемлем только в том случае, когда выполняются условия, требуемые для приемлемости приближения пограничного слоя (см. разд. 6.4). Рассмотренные в разд. 3.1.8-3.1.11 схемы с разностями против потока можно применять и в случае уравнений для физических переменных, что сделал, например, Жаме с соавторами [1970]. Аналогично обстоит дело и со схемной вязкостью, как показывает следующее упражнение. Упражнение. При помощи линеаризации привести левую часть уравнения (3.580а) к виду Du ди , ди , . ди Dt dt дх ду ) В данном случае влияние передается только вперед как по времени, так и по пространственным переменным. В случае одной пространственной переменной линеаризованное уравнение имеет вид dP/dt = - йдР/дх и влияние вперед от точки {х, t) распространяется вдоль характеристики, проходящей через точку {x,t) и имеющей наклон 1/й. Используя схему с разностями против потока, показать, что схемная вязкость в случае уравнений для простейших физических переменных та же, что и в случае уравнения переноса вихря. (См. уравнения (3.176) - (3.179) из разд. 3.1.8.) 3.7.6. Сравнительные достоинства систем уравнений для переменных О и для переменных Р) Сравнительные достоинства (ifi, -системы и («, у, Р)-системы зависят от решаемой задачи. Главную роль всегда играет опыт предшествуюших расчетов, но при выборе системы уравнений мы увидим, что в большинстве случаев (за исключением задач со свободной поверхностью пли других задач о движении жидкостей с поверхностями раздела) целесообразно брать (ф, ?)-систему. В качестве эталонной задачи для сравнения этих двух систем рассмотрим сначала задачу о плоском течении жидкости при отсутствии свободной поверхности, предполагая, что при этом уравиение Пуассона решается при помоши итерационных методов. Если не требуется находить нестационарное решение для давления, то в (i), )-системе приходится решать одно уравнение переноса вихря параболического типа и одно уравнение для функции тока эллиптического типа Vф = с условиями Дирихле па некоторых (возможно, на всех) границах. (Стационарное решение эллиптического уравнения для давления находится только на последнем слое по времени, и поэтому выбор метода решения этого уравнения не имеет особого значения.) В (и, и, Р)-системе надо решать два уравнения переноса количества движения, имеющих параболический тип, и одно уравнение эллиптического типа для давления VP = Sp с граничными условиями Неймана на всех границах. При решении уравнения переноса вихря t, необходимо дополнительно выполнить две операции дифференцирования функции тока ij) для нахождения составляющих скорости, но уравнения переноса количества движения усложняются из-за членов с дивергенцией / (в методе MAC эти члены значительно сложнее) и из-за специальных приемов, которые здесь требуются для обеспечения сохрапеппя массы (объема). Решать уравнение переноса внхря t, можно по неявным схемам, хотя при этом может потребоваться дополнительный итерационный процесс для неявного вычисления значений t,1+ на стенках при условии прилипания. В случае же (и, о, Р)-системы значения и+ и о+ известны точно в течение всего времени, но здесь существует трудность, связанная с неустойчивостью из-за нелинейности (см. разд. 3.7.2). Достижение итерационной сходимости при решении уравнения VP = Sp эллиптического типа требует значительно больше времени, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [ 97 ] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|