Запорожец Издания
при Re = О, или ползущее течение) рещение этою дифференциального уравнения нредсгавляется прямой == х. При и>0 данному решению соответствует профиль, как бы «выдутый» потоком). При больших и/а (течение при больших Re) решение в значительной части исследуемой области близко к горизонтали = ЦО) = О, но затем для того, чтобы удовлетворить второму граничному условию (3.4906), т. е. Ц1)= 1, оно резко возрастает при х-*1. При а = 0 (Re==oo) решение всюду имеет вид = ЦО) = О и второе граничное условие t(l)=l использовать нельзя, поскольку оно переопределяло бы задачу для уравнения, имеющего в этом случае первый порядок. Такое изменение порядка дифференциального уравнения и числа допустимых граничных условий имеет место в классической сингулярной задаче с малым параметром а/и. Рассмотрим теперь решение конечно-разностного уравнения (3.491). Как показано на рис. 3.27,6, при и = 0 конечно-разностное уравнение дает точное решение. Если скорость потока увеличивается, то профиль t, опять как бы «выдувается» потоком, как и в случае дифференциального уравнения, удовлетворяя всюду условиям (3.4916), поставленным для уравнения (3.491а), т. е. для уравнения иЬуЬх = аЬ%/Ьх. (3.492) Как же формируется такое «колено» профиля в предпоследней точке при г= 10? В решении дифференциального урав.че-ния с ростом и/а величина dt,/dx при х = 1 неограничеино увеличивается так, чтобы сбалансировать конвективный и диффузионный члены в уравнении (3.492), но в решении конечно-разностного уравнения величина 61/бх ограничена. Когда «колено» появляется в последней ячейке, мы имеем 1,-1, 1-0 1 - - -------- (3.493) /. 1 2Аа 2 A.v 2 Ах Если значение Xs-i = О, то / 1 Ах Ах (3.494) Таким образом, конечно-разностное уравнение (3.491) удовлетворяется в точке / = /- 1, если а Klx\j ~ 1/(2 Ад;) ~ A.v • уо.чуо) ) Это решение таково; g= (i - е"")/(1 - е"/"). В целом решение конечно-разностного уравнения будет = О для i от 1 до 10 и 11 = 1. Равенство (3.495) снова приводит к вездесущему условию на сеточное число Рейнольдса: Re, = « Ах/а == 2. (3.496) Когда это условие нарушается (при Re, > 2), член Sg/бх остается по-прежнему ограниченным, и для достижения баланса в уравнении (3.492) член 8%/8х будет увеличиваться за счет уменьшения вплоть до отрицательных значений, как показано на рис. 3.27, е. Заметим, что это решение конечно-разностного уравнения приводит к нарушению условий монотонности и ограниченности решения исходного дифференциального уравнения, приводя тем самым к ошибкам, связанным со свойствами схемы (см. разд. 3.1.23). Когда < О, величина 8t,/6x\!-2 несколько уменьшается и этот эффект передается вперед, вызывая пилообразные осцилляции. Появление пилообразных осцилляции в решении дискретного уравнения аналогично особенности у дифференциального уравнения; последняя возникает при Re->oo, а осцилляции появляются при Rcc > 2. Конечно-разностное уравнение имеет особенность при Re, = 2 в том смысле, что, когда параметр а становится достаточно малым (таким, что Rec>2), конечно-разностное уравнение утрачивает свойства монотонности и ограниченности, присущие исходному дифференциальному уравнению. Для нелинейного дифференциального уравнения Бюргерса такое явление может возникать в областях, удаленных от границ. С ростом Re частоты конечно-разностного решения увеличиваются до частоты Найквпста, отвечающей минимально возможной длине волны Л = 2Ах. Для уравнения Бюргерса это наступает именно при Re, = 2. При больших Re структуру решения нельзя получить на данной сетке хотя бы качественно (см. ошибки, обусловленные неразличимостью, разд. 3.1.13). Помимо уменьшения сеточного числа Рейнольдса за счет уменьшения Ах с тем, чтобы выполнялось условие Rcc -< 2, в случае уравнения с постоянными коэффициентами имеется два пути устранения ошибок, связанных с пилообразными осцилляциями. Они указаны в следующих упражнениях. Упражнение. Показать, что схема с разностями против потока для уравнения (3.490) не приводит к пилообразным осцилляциям. Упражнение. Показать, что использование условия градиентного типа dZJdx = О при д; = 1 не приводит к пилообразным осцилляциям. Относительно первого способа (схема с разностями против потока) заметим, что условие появления пилообразных осцилляции при использовании центральных разностей (Re 2) как раз совпадает с условием выполнения формальной точности схемы с разностями против потока (см. разд. 3.1.8). Таким образом, при Re > 2 схемная вязкость ае > а, так что в некотором смысле этот способ является фиктивным. Относительно второго способа заметим, что при таком фик-сироваином граничном условии задача фактически заменяется другой задачей, имеющей тривиальное решение (х) = (0) = = 0. (Если на выходной границе берется условие dt,fdx ф О, то для одномерной задачи существует нетривиальное решение, но ограничение на Re,; при этом по-прежнему имеет место; см. задачу 3.30.) Однако второй способ применим к двух- и трехмерным задачам, не сводя их к тривиальной, и часто используется в расчетах многомерных гидродинамических задач для устранения пилообразных осцилляции. Условия на выходной границе потока, используемые Шапиро и ОБрайеиом (см. разд. 3.3.7), также устраняют пилообразные осцилляции. (Для одномерной стационарной задачи способ Шапиро - ОБрайена сводится к заданию градиентного условия б/бх = 0.) Конечно, переменность скорости и но пространственной координате и большая размерность задачи могут привести к количественному изменению описанного поведения решения. В частности, при переменной скорости и можно допускать, чтобы сеточное число Рейнольдса превышало значение Re,; > 2 вне окрестности выходной границы, причем пилообразные осцилляции не возникают, если вблизи границы Re < 2. Выводы проведенного здесь исследования оказались приемлемыми для двумерных гидродинамических задач. Используя полные уравнения Навье - Стокса для двумерных расчетов течения нескольких жидкостей в пограничном слое, А. Руссо (личное сообщение) столкнулся с одномерными пилообразными осцилляциями в каждом из направлений - параллельном стенке и перпендикулярном ей. Пилообразные осцилляции в каждом из направлений устранялись либо путем изменения граничного условия на условие Неймана, либо путем перехода к схеме с разностями против потока в одном таком направлении. Другим эффективным средством, примененным Руссо, является локальное уменьшение шага сетки вблизи стенки (см. разд. 6.1), что локально приводило к уменьшению сеточного числа Рейнольдса до значений Rec < 2. Полджер [1971] устранил пилообразные осцилляции в решении вблизи стенки, учитывая диффузию только с узла, отстоящего на один шаг от стенки. Он проводил расчеты по схеме Лакса (разд. 5.5.4), но схема с разностями против потока (разд. 3.1.8) в этом случае также работала бы. (В линейной одномерной задаче, представленной на рис. 3.26, применение схемы с разностями против потока при г =10 почти полностью устраняет пилообразные осцилляции.) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [ 79 ] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|