Запорожец Издания
Величины с индексом п + 1 являются предварительными или промежуточными значениями. Эту схему можно интерпретировать как итерационное приближение к полностью неявной схеме с одной итерацией. Для анализа устойчивости и искусственной вязкости (Б,26) можно неренисать в виде одного уравнения »+ = 11- (С/2) {11, - + (CV4) (11, - 21 + (Б.27) Схема (Б.27) эквивалентиа двухшаговой схеме (Б.26) только для модельного уравнения (Б.1) во внутренних точках; наличие границ и нелинейных членов нарушает эту эквивалентность. Последний член уравнения (Б.27) можно трактовать как обычное трехточечное конечно-разностное иредставлеиие ад%/дх, занисанное для сетки с шагом 2Ах вместо Ах. С учетом этой интериретации стационарный анализ дал бы для aes следующее выражение: aes = 2uAt. Однако на иоведение решения этого уравнения неожиданным и благоприятным образом влияют члены более высокого порядка. Каждый из двух шагов (Б.26а) и (Б.266) имеет одну и ту же онераториую форму: U = U4-L{t,% (Б.28а) C" = ?" + L(+). (Б.286) (Этим схема Мацуно отличается, например, от двухшаговой схемы Лакса - Вендроффа.) Аллеи и Чен [1970] отметили тот достойный внимания факт, что при достижении стационарного состояния ие только "+ = 1", но и "+ === С учетом этого Времени и центральными разностями по пространственным переменным. Кроме того, в нротивоноложность схеме конечных разностей против потока, в этом случае и сами коиечно-разиост-ные уравнения и практика расчетов показывают, что стационарное решение будет зависеть от А. Двухшаговая схема Мацуно (см. Лилли [1965]), используемая для конечно-разностного представления конвективных членов, применялась также Браиловской (Браиловская [1965]) для расчета течения сжимаемой жидкости с тем же самым иред-ставлением вязких членов, а также Ченом и Алленом (Чен и Аллен [1970]) с другим иредставлением вязких членов, что удачно позволило избежать добавочного ограничения на А, имевшегося в схеме Браиловской. На схеме Мацуно следует остановиться особо из-за донолнительной неоиределеиности в величине aes при стационарном анализе. Эту двухшаговую схему для уравнения (Б.1) можно записать в виде g g„ (C/2)(« 2 ), (Б.26а) ?Г = - (С/2) ini - SnO. (Б-266) факта стационарный анализ для aes может быть проведен на каждом шаге (Б.26) раздельно без привлечения уравнения (Б.27). В результате будем иметь as = О (так же, как и для схемы с конечными разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным). Этот вывод был проверен в настояшем исследовании на одномерных тестовых задачах, в которых получились стационарные решения, не зависяшие от А/, в отличие от анализа уравнения (Б.27) и в отличие от схемы Лейта. Расчет двумерной задачи Для проверки возможности переноса результатов, полученных для одномерного модельного уравнения (Б.1), на двумерные уравнения гидродинамики был проведен численный эксперимент с использованием программы Моретти (см. Моретти и Блейх [1968]) расчета обтекания затупленного тела невязким газом. Рассматривалось обтекание сферически затупленного конуса с полууглом раствора 6° совершенным газом с показателем адиабаты у = 1.4 при числе Маха невозмушенного потока, равном 10. Программа осуществляет выделение ударной волны на криволинейной расчетной сетке, перестраивающейся по мере изменения решения во времени. Поскольку ударная волна в процессе расчета все время сохраняется как разрыв, представленные результаты не искажаются послескачковыми всплесками, характерными для методов сквозного счета, или размазывания скачка. Для усиления влияния величины aes была выбрана чрезвычайно грубая сетка: она содержала только три узла (две ячейки) между поверхностью тела и ударной волной и только пять узлов вдоль тела. Целью эксперимента являлось доказательство того, что стационарное решение, полученное по схеме Моретти, зависит от выбранной величины А/, как это следует из стационарного анализа величины ае. (В этом состоит отличие схемы Моретти от схемы конечных разностей против потока, обсуждавшейся ранее, а также от ряда других конечно-разностных схем.) Наиболее чувствительной оказалась узловая точка (2, 3) в центре расчетной сетки. Величина А/ изменялась в программе с помощью входного параметра STAB; при STAB == 1 величина At выбиралась равной 0.94 от предельного размера шага по времени, допускаемого критерием устойчивости на квадратной сетке. Первая часть решения, показанного на рис. Б.1, была получена за 3000 шагов по времени при STAB = 1, что соответствовало безразмерному времени Г = 15.82. Здесь можно видеть довольно четкое установление решения, при котором безразмерная плотность меняется всего лишь на 2.5-10-% за 200 последних шаюв но Бремени п in .\л.чис чем i л 2 74-10 Уо за один mai по времени. Вюрая 4JLib i 1 olmj пол- чена после уменьшения парамора STAB до /э При эгом никакие другие нарамегры не менялись. Расчег продолжался еще па протяжети! 28 000 шаюв по ппомспп, чю оо1Р.етствовало конечному времени 7---= 46 45 -lo .ичо иппос сi.iMoiiapnoe решение, в котором р изменялось .ипиь и;! 4 32-К) /, -а последние 1000 шагов по времени. 4.8г Рис. Б.1. Плотность в узловой точке (2, 3), рассчитанная по схеме Мореттн. Расчет обтекания сферически затупленного конуса с полууглом раствора 6° при М= 10, Y= 1-4 на сетке 3X5 При Г < 15.82 имеем Д/ = Д/ » 0.94 Д/, где At - предельный размер шага по времени, допускаемый критерием устойчивости; при 7" 15.82 имеем Д/ = 7) Дв- Для дальне1°1шей проверки везде (вплоть до 7" > 46.45) просчитывалось другое решение В с больихей величиной Д (STAB = 1). Расхождение между двумя стационарными ренгеииями при Т = 46.45 показано иа рис. 5.1, а также иредставлеио в табл. II. Таблица il Расчет стационарного обтекания сферически эа1упленно10 конуса с полууглом раствора 6° по схеме Моретти при М = 1Э, у =1-4 на сетке 3X5. Приведены значения безразмерных плотности f), давления Р в узле сетки (2, 3) и расстояние отхода ударной волны при Д/д = ДД<я
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 [ 170 ] 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|