 |
 |
 |
 |
По определению
Е =-- , (3.545)
Ср (Г, - Го)
с ЫУЫАЗ(±Л\ (3.547)
где а - скорость звука, Rg - газовая постоянная и y = CplCv. Далее,
(3.548)
(Y-1)M2
(3.549)
E - ° , (3.550)
(Г,/Го-1)
Следовательно, E-> 0 при Mo->0 для Ti/fo>l. Ho если разность температур, которую можно записать в виде fi/fo-1, настолько мала, что Е будет велико при любом малом, но
стационарное поле температур можно получить при помощи прямых неитеративных методов, например при помощи метода расчета распространения вектора ошибки (разд. 3.2.8). Уравнение, аналогичное уравнению (3.543) без диссипативного члена Ф, можно использовать также для решения простейшей задачи о диффузии двухкомпонентной смеси, описываемой элементарным законом Фика; см., например, Берд с соавторами [1960]. В этом случае Т заменяется концентрацией, а число Пекле Ре числом Шмидта.
3.6.2. Учет диссипации
В уравнении энергии, соответствующем течению несжимаемой жидкости, часто пренебрегают диссипативным членом, поскольку Е->0, когда число Маха М->0 в случае фиксированной разности характерных температур. Однако даже при малых числах Маха член Ф может играть важную роль, если разность Г] - Го мала.
отличном от нуля Мо и Y > 1, то роль диссипативиого члена будет велика.
Заметим, что при Е = О в уравнении (3.543) можно Т заменить на -Г, а это означает, что решения для убывающей температуры аналогичны решениям для повышающейся температуры. Однако при Е > О такие решения будут различаться из-за положительно определенной диссипативной функции.
3.6.3. Конечно-разностное представление диссипативной
функции
Поскольку и = д\/ду и v - -д\/дх, уравнение (3.544) можно переписать в виде
Ф = 2
\ дхду ) V ду дх ) •
д (ЭЧ V
(3.552)
Применяя обычные конечно-разностные формулы с центральными разностями по пространственным переменным (разд. 3.1.1), определим Ф со вторым порядком точности О {Ах, Ау):
Ах Ai/
(3.553)
Поскольку Ф вычисляется только во внутренних точках и никогда ие вычисляется на границах, нет необходимости применять где-либо односторонние разности. Выражение (3.553) сохраняет полонштельную определенность диссипативной функции.
Легко показать, что имеет место следующее интересное соог-иошение:
Ф = , + 8,
(3.554)
где S - источниковый член в уравнении Пуассона для давления (3.525). Это точное соотношение было бы удобным при уже вычисленных и 5, но получаемая таким образом функция ф не всегда может оказаться положительно определенной. Ошибки аппроксимации могут привести к появлению отрицательных значений функции + 5. Такие ошибки, как правило, малы, но появление отрицательных значений Ф может смутить и ввести в заблуждение. Однако при вычислении функции Ф иа стенках с условием прилипания это соотношение может быть полезным
W+1 I
1 дТ
2 дп
Ari + О (Лп), (3.558)
Nu = (Г+, - TJ/An + О (An). (3.559)
Чтобы поставить условие адиабатичности на стенке, положим Nu = О, или
Г«, = Г»+,. (3.560)
Если для рещения уравнения (3.543) применяются явные схемы, то это условие просто используется после вычисления TwVi во внутренних точках, т. е. принимается, что Т = Т1Х\. Если же применяются неявные схемы, то условие (3.560) необходи.мо ввести в схему для расчета внутренних точек так же, как это
при построении графиков на ЭВМ. Поскольку на стенке при условии прилипания S ~ О, мы имеем
Ф. = &1, (3.555)
т. е. здесь Ф - опять положительно определенная функция.
3.6.4. Граничные условия для температуры и концентрации
Граничные условия для температуры аналогичны граничным условиям для вихря, за исключением условий на стенках, где они проще. Вернемся к обозначениям, принятым на рис. 3.22. Температуры стенок могут быть фиксированы, например равны характерным температурам. Так, можно положить, что в задаче с подогреваемым основанием уступа
Г(В5)-=1, Г (В 2) = О, (3.556)
а в задаче с охлаждаемым основанием уступа
Г (В 5) = О, Г(В 2) = 1. (3.557)
Возможны, конечно, любые другие распределения температур вдоль стенок, например вдоль границы В 5 можно задать T{ic,j) = f{y).
Граничные условия для температуры на стенке можно задать в виде условия Неймана, т. е. задать градиент дТ/дп. В безразмерных переменных dTjdn = Ыи, где Nu - число Нус-сельта, которое соответствует безразмерной интенсивности теплопередачи. Наиболее обычным видом граничного условия является случай адиабатической стенки, когда Nu = 0. Если же число Nu не задано, то его интересно вычислить в процессе рещения. На сетке первого тина разложение в ряд Тейлора дает
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 [ 91 ] 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199