 |
 |
 |
 |
5.5.6. Двухшаговая схема Лакса - Вендроффа
Двухшаговый вариант схемы Лакса - Вендроффа, гораздо более простой, чем первоначальная схема, в особенности для многомерных задач, был предложен Рихтмайером [1963] ) Здесь первый шаг проводится по схеме Лакса (см разд 5 5 4), а иа втором шаге применяется схема «чехарда» (см рад 3 1 6) Для векторного уравнения (4 66а) данная схема записывается следующим образом
1 + 1
2 Av
(5.79а) (5.796)
Значения F±i на втором шаге вычисляются но значениям и1±\у полученным на первом шаге Первый шаг можно рассматривать как предварительный, а смысл имеют только результаты второго шага в каждом цикле Хотя эта схема по виду не похожа на первоначальную схему Лакса - Вендроффа (уравнения (5 72) - (5 74)), однако подстановка (5 79а) в (5 796) показывает, что в случае линеаризованной системы уравнений с постоянными коэффициентами эти схемы эквивалентны
Упражнение Показать, что для уравнений с постоянными коэффициентами двухшаговая схема Рихтмайера и схема Лакса-Вендроффа эквивалентны
Распространение схемы на многомерный случай очевидно и проводится просто. Для двумерного уравнения
ди dt
~ \дх ду )
(5 80)
имеем
Г/ = -[[ь, , + I + ul + Ul / ,] -
pi pll
2 Дх
2 Дг/
Ul+f = ur/ -2At
n + \
рП+\
2 Дх
рП+\ рП+\
(-11
2 Дг/
(5.81a) (5.816)
Эта двумерная схема требует около четверти машинного времени, необходимого для первоначального варианта схемы Лакса -
) Бёрстейн [1966] утверждает, что одномерный вариант этой схемы был впервые предложен Веидроффом, см также схему Чудова, описанную в работе Браиловской с соавторами [1968]
/ 1. 1 /о < 1 /о
иГ = Ut~ Ы д . (5.82B)
Бёрстейн [1965, 1966] применял данную схему также в цилиндрических координатах.
Эта схема не полностью эквивалентна схеме Рихтмайера, причем последняя предпочтительнее по соображениям реализации граничных условий. Граничные условия должны использоваться после каждого из двух шагов, причем определение гра-
Вендроффа (Эмери [19G8]) и дает меньшие всплески за скачком (см., например. Рубин и Бёрстейн [1967]). Лапидус [1967] применил эту схему в случае общего преобразования координат, а Хафтон с соавторами [1966] -к геофизическим задачам с учетом корполисова ускорения и с введением дополнительной искусственной диффузии, согласно закону Фика (см. разд. 3.1.2). Синха с соавторами [1970] рассчитал истеченпе недорасширен-ной струи, включая маховский дискообразный скачок. Хотя первый шаг в схеме содержит диффузионные ошибки аппроксимации, вся схема в целом их не содержит, по крайней мере для нестационарного случая. Что касается стационарного случая,то в схеме имеет место искусственная вязкость, зависящая от М (см. разд. 3.1.13).
Следуя Рихтмайеру [1963], стало традицией любую схему, которую можно интерпретировать как разложение в ряд Тейлора до членов второго порядка по времени включительно, называть двухшаговой схемой Лакса - Вендроффа или схемой типа Лакса - Вендроффа и т. д. Представляется, что это слишком широкая и несколько неточная классификация: она объединяет, например, как схемы Адамса - Бэшфорта (разд. 3.1.12) и Хойна (разд. 3.1.15), разработанные ранее схемы Лакса - Вендроффа, так и схемы Лейта (разд. 3.1.13) и Мак-Кормака (которая будет обсуждаться ниже). Мы сознаем, что отдельные схемы должны классифицироваться конкретнее, но, следуя традиции, приводим их все в настоящем разделе.
Бёрстейн [1965, 1967], а затем Рубни и Бёрстейн [1967] модифицировали схему Рихтмайера (5.79), введя расчет на полушагах по пространству Ах/2 и по времени А 2. Тогда формула для первого полушага принимает вид
Ultli! = [U1 + UUI - . (5.826)
На втором полушаге расчет проводится по формуле
игт- а
cfl рП гП+ 1 рП.+ 1
1 + 1 1-1 I г-И/2 ~ i-]/2
2 Ах + Дх
(5.87в)
) Более приемлемые результаты получаются при обычном тестовом расчете одномерного распространения ударной волны.
ничных значений но формулам (5.82а) и (5.826) при смещенном положении узлов сетки тина i + /2 приводит к неудовлетворительным результатам ) (см. разд. 5.7.1 и 5.7.2). Гурли и Моррис [19686] заинсали двухшаговую схему тина Лакса - Вендроффа в следующем виде:
Ul ={Ut + i/2 + Ut-ii2)--2--Хх- (-оЗа)
U!+ = u:-M-±f. (5.836)
Эта схема ирннциниально аналогична схеме Рихтмайера (5.79), но полностью не идентична ни ей, ни даже схеме Бёрстейна (5 82). Заметим, что при переходе от формулы первого полушага (5.83а) к формуле по схеме Лакса будем иметь
yIuUv2 + t/"-./2] = J + у t/? -f J t/?-b (5.84)
что отличается от шаблона схемы Лакса в г-й и (г± 1)-й узловых точках. Фактически схема (5.83) полностью ие определена, поскольку величины F в уравнении (5.836) могут быть представлены одним и? двух возможных способов: либо как
РГЛ = F (иГЛ) = F т+" + иЧПШ (5.85)
либо как
Fitt = If (t/O + F (Ultfm, (5.86)
что ие эквивалентно в случае, когда U не постоянно. Этой схеме присущи те же трудности, связанные с граничными условиями, что и схеме Бёрстейна (5 82).
Другая схема Рубина и Бёрстейна [1967] состоит в изменении подхода к центрированию по времени. Предварительные значения в точках с иолуцелыми но пространству индексами 1±/2 вычисляются в точках с целыми но времени индексами:
UlUi2 = iUl + t/]+i) - А/ . (5.87а)
UlII, = jiUl + UU) ~ М . (5.876)
Тогда при центрировании по времени второй шаг имеет вид
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [ 120 ] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199