Запорожец Издания
стационарного уравнения теплопроводности невязка пропорциональна скорости накопления энергии в ячейке сетки; следовательно, стационарное состояние достигается, когда все невязки обращаются в нуль.) Фокс [1948] разработал усложненные варианты метода релаксации Саусвелла, введя схемы верхней и нижней релаксации (при которых невязки не полагаются точно равными нулю), способ выбора узлов сетки, в которых осуществляется релаксация, а также схему блочной релаксации. В 1955 г. Аллен и Саусвелл применили метод релаксации Саусвелла для расчета вручную обтекания цилиндра вязкой несжимаемой жидкостью. В некоторых отношениях это была пионерская работа в численной гидродинамике. Для представления круговой границы на регулярной прямоугольной сетке использовалось конформное преобразование. Были получены численно устойчивые решения при числе Рейнольдса, равном 1000, что превышает физический предел устойчивости). При проведении вычислений авторы столкнулись с ясно выраженной тенденцией к неустойчивости при числе Рейнольдса, равном 100, и связали это с тенденцией к физической неустойчивости потока, предвосхитив тем самым современное понятие численного моделирования. Их работа может также считаться образцом финансирования научных исследований: на ее проведение Лондонскому имперскому колледжу в 1945 г. были выделены большие ассигнования фирмой по пошиву одежды! Метод Саусвелла не так просто приспособить к использованию на ЭВМ. Вычислитель вручную просматривал матрицу в поисках максимальной невязки гораздо быстрее, чем производил арифметические операции. Для ЭВМ скорость просмотра матрицы не намного превышает скорость выполнения арифметических операций, и поэтому здесь становится более эффективным проведение релаксации последовательно во всех узлах сетки до сведения невязки к нулю, что идентично методу Либмана. Таким образом, применение ЭВМ дало основание к дальнейшему развитию методов типа метода Либмана с использованием преимуществ идеи верхней релаксации Саусвелла. В 1950 г. Франкел (и в 1954 г. независимо от него Янг) разработал метод, который он назвал экстраполированным методом Либмана и который впоследствии стал называться методом последовательной верхней релаксации (Янг [1954]) или методом оптимальной верхней релаксации. Франкел подметил также аналогию между итеративным решением эллиптических уравнений и решением шагами по времени параболических уравнений, что имело важные последствия. С развитием ЭВМ стали по-настоящему уделять внимание и ) Расчеты проводились при Re = О, 1, 10, 100 и 1000.- Прим. перев. уравнениям параболического типа, поскольку стало возможным рассчитывать нестационарные решения. В первой монографии Рихтмайера [1957], внесшей большой вклад в развитие одномерной нестационарной гидродинамики, было приведено.свыше десяти численных схем. В многомерном случае первым неявным методом был метод Кранка - Николсона, опубликованный в 1947 г. и требовавший итераций на каждом временном слое. Этот метод остается одним из самых популярных и лежит в основе широко используемого метода расчета неавтомодельных решений уравнений пограничного слоя (Блоттиер [1970]). Невозможно точно определить, когда впервые была выдвинута идея асимптотического метода установления по времени, при которой для получения стационарного решения интегрируются уравнения нестационарного течения. Сомнительно, чтобы такая идея могла серьезно рассматриваться до появления ЭВМ. Многие из пионерских работ в области вычислительной гидродинамики были выполнены в Лос-Аламосской лаборатории. Именно в Лос-Аламосе во время второй мировой войны фон Нейман разработал свой критерий устойчивости параболических конечно-разностных уравнений и дал метод исследования линеаризованной системы. Краткий отчет о его работах появился в открытой литературе лишь в 1950 г. (Чарни с соавторами [1950] )). В этой важной статье были впервые приведены расчеты метеорологических задач большого масштаба, в которых рассматривались нелинейные уравнения для вихря. Авторы выяснили, что в смысле устойчивости уравнения для вихря имеют преимущество над традиционными уравнениями для простейших физических переменных (скорость и давление), и привели эвристические обоснования своей трактовки нестационарной задачи как задачи с математически неполными условиями на входной и выходной границах. В середине пятидесятых годов в работах Писмена и Рак-форда [1955], а также Дугласа и Ракфорда [1956] были предложены эффективные неявные методы для решения параболических уравнений, пригодные при произвольно больших шагах по времени. Под названием неявных схем метода чередующихся направлений 2) они применялись и для решения эллиптических задач с использованием аналогии Франкела [1950] между продвижением решения по времени в параболических задачах и продвижением решения по итерациям в эллиптических задачах. ) Более полное описание дали ОБрайен, Хаймен и Каплан [1950]. 2) Наряду с названием «метод чередующихся направлений» в советской литературе применяются также названия «метод переменных (или попеременных) направлений». При переводе данной книги мы употребляем первое (хотя реже встречающееся) название как более точно отражающее суть метода и его английское название (alternating direction method). - Прим. ред. Неявные схемы чередующихся направлений, вероятно, наиболее популярны при расчетах задач о течениях несжимаемой жидкости, в которых используется уравнение переноса вихря. В 1953 г. Дюфорт и Франкел опубликовали свою схему «чехарда» для параболических уравнений, которая, как и неявные схемы метода чередующихся направлений, пригодна для произвольно больщих щагов по времени (при отсутствии конвективных членов), но сохраняет все преимущества чисто явных схем. Эта схема использована Харлоу и Фроммом [1963] при получении их щироко известного численного рещения для нестационарной вихревой дорожки. Статья Харлоу и Фромма [1965], опубликованная на страницах журнала Scientific American, была предназначена специально для того, чтобы привлечь внимание научной общественности Соединенных Штатов к возможностям вычислительной гидродинамики. Примерно в то же время во французском журнале La Houille Blanche появилась аналогичная статья Макано [1965]. В обеих этих статьях были впервые четко сформулированы понятия численного моделирования и численного эксперимента. Выходом этих статей можно датировать возникновение вычислительной гидродинамики как отдельной дисциплины. Вычислительная устойчивость всех упомянутых выше зависящих от времени решений была ограничена сверху по числу Рейнольдса (принципиально этот предел определяется сеточным числом Рейнольдса, т. е. числом, полученным по размеру шага ячейки конечно-разностной сетки). В 1966 г. Томан и Шевчик добились, по-видимому, неограниченной вычислительной устойчивости, используя для представления конвективных членов разности против потока и уделяя особое внимание граничным условиям. Их расчеты обтекания цилиндра простирались до чисел Рейнольдса, равных миллиону; они даже могли «вращать» цилиндр и получать магнусову подъемную силу, не сталкиваясь при этом с вычислительной неустойчивостью. Несмотря на то что их схема имела лишь первый порядок точности, согласование полученных ими результатов с экспериментальными данными заставило переоценить важность формального порядка ошибок аппроксимации при разностном представлении дифференциальных уравнений в частных производных. В этой связи представляется важной работа Чена [1968], установившая существенное влияние численной постановки граничных условий. Прямые (неитеративные) методы Фурье для численного рещения эллиптического уравнения Пуассона были известны уже в течение некоторого времени (см., например, монографию Ва-зова и Форсайта [1960 ), но не применялись к задачам гидродинамики. В 1965 году Хокпи разработал родственный, но более 0 1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
|