Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Можно думать, что даваемое (3.159) значение Я±=1, отвечающее границе устойчивости, является приемлемым лишь в крайнем случае, но в действительности это значение даже весьма желательно, если решение исходного дифференциального уравнения не является затухающим. В самом деле, уравнение конвекции (3.144) при отсутствии вязкости и постоянном и выражает тот факт, что произвольное начальное распределение функции t,(x,0) просто сдвигается со скоростью конвекции и; значит, для любого сдвига т по времени решение этого уравнения имеет вид

?(х,/ + т) = ?(х-ыт, /). (3.160)

Таким образом, метод фон Неймана показывает, что схема «чехарда» правильно моделирует одно из свойств, присущих решению исходного дифференциального уравнения при и - = const, а именно отсутствие затухания. Любая разностная схема для решения уравнения для невязкой жидкости, такая, что G1<1, обладает ошибкой, обусловленной искусственным или численным затуханием. В любой сходящейся разностной схеме эта ошибка должна, конечно, стремиться к нулю при Лх->0, Ai-vO, но применение метода фон Неймана показывает, что схема «чехарда» при и - const и С 1 обладает нулевой ошибкой, обусловленной затуханием, даже при конечных Дх и Дг/.

Действительно, в частном случае С = 1 рассматриваемая схема дает точные результаты. Полагая т = Д/, имеем X - их = X-СДх, поэтому при С=1 решение (3.160) можно переписать так:

?Г = ?-1- (3-161)

Следовательно, точное решение дифференциального уравнения, если его рассматривать в узловых точках конечно-разностной сетки, выражает перенос величины t, из точки г - 1 на слое п в точку i на слое п-\-\. Величина t, за один шаг по времени переносится с конвективной скоростью и на расстояние uAt, а при С - 1 расстояние uht равно Дх. Через два временных шага точное решение будет

?Г = ?Г2- (3-162)

в результате применения схемы «чехарда» (3.146) при С = 1 получаем

?Г= + (3.163)

Задав правильные начальные значения согласно уравнению (3.161), а именно ?%, = ?" и ?? , = C?l2 получаем, что разностное решение (3.163) совпадает с точным решением (3.162). Таким образом, при и = const и С = 1 схема «чехарда» дает точное решение



) Дисперсионную ошибку мы будем обсуждать на стр. 123-124, а пока ограничимся кратким замечанием. Ошибка в волновой скорости различна для различных фурье-компонент, поэтому каждая из них имеет различную скорость конвекции. Таким образом, фурье-компоненты исходного распределения имеют тенденции «размазываться» или диспергировать в процессе решения. Эта ошибка обычно больше для компонент с меньшей длиной волны и, конечно, зависит от числа Куранта, причем при С = 1 она не возникает.

Однако при практических гидродинамических расчетах, когда скорость меняется в пространстве, ограничение на шаг будет определяться (если не учитывать дополнительные усложнения, обусловленные нелинейностью) наибольшим значением и в узловых точках сетки. Значит, вообще говоря, нельзя получить С = 1 во всех точках. Но при С <С 1 разностная схема «чехарда» уже не будет давать точного решения.

Прежде всего вопреки результатам метода фон Неймана рассматриваемой схеме может быть присуще некоторого рода численное затухание, хотя это обычно не допускается. На рис. 3.10 представлены трехмерные графики величины t,{x,t), рассчитанной по схеме «чехарда» при синусоидально меняющейся на входной границе потока величине (0, )=sin. При С=1, как видно на рис. 3.10, а, получается точное решение с синусоидальным законом на входной границе, которое переносится за счет конвекции без затухания. На рис. 3.10,6 построена диаграмма, рассчитанная с вдвое меньшим шагом по времени, т. е. при С = /г. Ясно видно, что в этом случае максимум амплитуды первого горба уменьшается по мере движения вниз по потоку. Рис. 3.10,9 снова соответствует С =/г. но период изменения £ на входной границе и величина шага по времени выбраны таким образом, чтобы их отношение (и шаг Ах) были такими же, как и для рис. 10, а; в этом случае затухание очень сильное.

Здесь возникает вопрос относительно применения термина «затухание». Метод фон Неймана стал настолько широко известным, что «затухание» обычно понимается в смысле поведения фурье-компонент как случай, когда Я< 1. Очевидно, если термин «затухание» означает по определению, что Я<1, то схема «чехарда» по определению не обладает затуханием. Уменьшение же экстремальных величин амплитуды, которое видно на рис. 3.10,6 и 3.10,9, правильно связывать с дисперсионной ошибкой), которая проявляется в методе фон Неймана и будет кратко обсуждаться в дальнейшем. Такая терминология целесообразна, и ее можно даже рекомендовать в тех случаях, когда имеется в виду, что схема в самом деле может вызывать уменьшение экстремальных величин амплитуд волн. В обычной речи такое свойство называется «затуханием»; что же касается рис. 3.10,9, то лучше было бы говорить, что волна




Рис. 3.10. Решения уравнения dt/dt - - udt/dx, полученные при помощи схемы «чехарда». Здесь С - число Куранта, Л - сеточная частота. Диаграммы любезно предоставлены У. Сандбергом из лаборатории Сандиа. а:С = 1, N = 8; б; С = 0.5, N = 16.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199