 |
 |
 |
 |
количество вакансий. Содержание вакансий можно значительно повысить путем нагрева кристалла, так как с ростом температуры их концентрация возрастает экспоненциально. Ваканспи могут создаваться у поверхности кристалла {дефекты Шотки), как показано на рис. 1.6, а, или в объеме кристалла {дефекты Френкеля), как показано на рис. 1.6, б. Вакансии, р,озникающие у поверхности, могут диффундировать в глубь кристалла и равномерно распределяться в его объеме.
Рримесныи атом
ОО ООФООООООО ООООО OOfOOOO ОООООООО\ OOfO
оооооооооо о ооооооооооо ооооооо
Рис. 1.7. Диффузия атома примеси.
Благодаря присутствию вакансий атомы примеси проникают в поверхностный слой кристалла и затем медленно диффундируют вглубь, как показано на рис. 1.7. Такая диффузия примеси представляет собой очень медленный процесс, состоящий из ряда последовательных перемещений: ведь для того чтобы атом примеси мог переместиться из одного атомного слоя решетки в другой, необходимо присутствие соответствующим образом расположенной вакансии.
1.3.1. Уравнения диффузии. Диффузия - это перемещение атомов или других частиц под действием градиента концентрации (рис. 1.8). Поскольку слева от линии х = Xi больше частиц, чем справа от нее, создается результирующий поток частиц, движущихся слева направо. Следует обратить внимание на то, что градиент концентрации uNfux на этом графике является отрицательным и поток частиц направлен по оси -fx. Плотность диффузионного потока, т. е. величина потока на единицу площади F, пропорциональна градиенту концентрации частиц или атомов, Foe - dNjdx. Введя коэффициент пропорциональности, получим уравнение, называемое первым законом Фика, F = -D {dNjdx). Величина D в этом уравнении - коэффициент диффузии с раз-
мерностью см7с. Таким образом, подставив все размерности, получим
F (см2. с)- = -D (см/с) dN/dx (см-/см). (1.1)
Коэффициент диффузии D зависит от типа диффузанта, от материала, в который происходит диффузия, и экспоненциально возрастает с температурой.Он может быть записан в виде D = = Dq ехр i-qEJkT), где 7 -заряд электрона (1,6-10-" Кл), -постоянная Больцмана (1,38-10~ Дж/К), Т - абсолютная
F = -D!dN/dx)r::
Рис, 1.8. Диффузия: первый закон Фика.
температура и Dg - предэкспоненциальный множитель, имеющий размерность cmVc. Величина представляет собой энергию активации, измеряемую в электрон-вольтах (эВ). Для большинства примесей замещения, используемых в качестве диффузантов для кремния, таких, как Р, В, As и Sb, Ej лежит в пределах от 4 до 5 эВ. На рис. 1.9 приведены температурные зависимости коэффициентов диффузии этих примесей. Отметим, что если для коэффициента диффузии используется логарифмическая шкала, а для температуры - шкала обратных температур 1/Т, то температурные зависимости представляют собой прямые линии.
Второе соотношение, использующееся для описания диффузионного процесса, - это уравнение неразрывности
дХ Г (x)-F(x + dx) дР dt dx ~ дх
(1.2)
Данное уравнение по существу отражает закон сохранения массы. Оно показывает, что скорость из.менения числа атомов или частиц в данном объеме dN/dt равна скорости потока частиц, направленного в этот объем, минус скорость потока частиц, направленного из этого объема.
Объединив первый закон Фика и уравнение неразрывности, получим второй закон Фика:
dt дх - дх \ dx ) - дх
Решив это дифференциальное уравнение в частных производных при соответствуюших граничных условиях, найдем профиль рас-
1300°С 1200°С ПОСС 1000°С
0,55
0,60
0,65
0,70 1 ООО/т
Рис. 1.9. Температурные зависимости коэффициентов диффузии донорных и акцепторных примесей в кремнии. (С. S. Fuller, J. А. Ditzenberger, Diffusion of donor and acceptoi elements in silicon, Journal of Applied Physics, 27, pp. 544-553,
May 1956.)
0 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193