 |
 |
 |
 |
магнитная энергия равна (L* + M-i-iV)dt, интегралы берутся по
объему Полная энергия ра-вна сумме обеих энергий.
Поскольку речь идет об эфире, эти утверждения являются существеннейшей частью теории Максвелла. Максвелл получил их, исходя из представления о силах, действующих на расстоянии, и приписав эфиру свойства диэлектрически сильно поляризуемой среды. Но они могут быть получены и другими путями. Никакой путь не дал до сих пор непосредственного доказательства справедливости этих уравнений, базирующегося на опыте. Поэтому представляется наиболее последовательным рассматривать эти уравнения (независимо от способа их получения) как гипотетические допущения и проверять их справедливость на большом числе закономерностей, которые ими охватываются. Если стоять на подобной точке зрения, то можно обойтись без целого ряда вспомогательных понятий, затрудняющих понимание теории Максвелла, причем в некоторых случаях эти затруднения объясняются совершенной ненужностью этих вспомогательных понятий; в конце концов можно, таким образом, отказаться от представления о силах, действующих непосредственно на расстоянии.
Умножая уравнения (1) на L, М, N, уравнения (2)-на X, Y, Z, складывая все уравнения и интегрируя по объему, элемент которого равен ёТ, а элемент поверхности do>, получаем:
k {i \ (X + Y + Z)d. + \ (L + M + N) d.} =
= 4I4 $ Hi - -Z) cos (n, x) + (LZ - NX) cos (n, y) + + (MX-LY) cos {n, z)}dw,
где (n, x), (n, y), {n. z) обозначают углы, образуемые нормалью к с осями координат.
Последнее уравнение показывает, что прирост энергии в некотором объеме может рассматриваться как увеличение энергии за счет притока ее через поверхность. Количество энергии, проходящее через отдельные элементы поверхности, равно произведению компонент электрической и магнитной сил на этой поверхности, умноженному на синус угла, образуемого ими, и деленному на 47с А. Как известно, базируясь на этом результате, Пойнтинг разработал замечательную теорию о движении энергии е электромагнитном поле.
Что касается решения уравнений, то мы ограничиваемся частным, но весьма важным случаем, когда распределение электрической силы обладает
в качестве примера укажу на понятие диэлектрической постоянной эфира. Н. Pointing. Pliii. Trans. II, 343, 1884. { Настоящ. сборн., стр. 23о }.
В начальный момент выполняются равенства:
dx + dy + dz dx +dy +dz (-
справедливые и для любого следующего момента времени.
Электрическая энергия, содержащаяся в объеме эфира, равна
р dp | dx dz | dydt | |
d=n dydz | - A dxdt > | ||
Р йр Ч | dU- dp > | V dm dm 1 dx2 +dy2 | , N=0. |
Теперь нужно только подставить эти выражения в уравнения (1), (2), (3), чтобы убедиться, что уравнения (2) и (3) удовлетворяются тождественно, а уравнение (1) удовлетворяется благодаря существованию ди-ференциального уравнения для П, написанного выше.
Укажем, что если отвлечься от практически несущественных ограничений, всякое возможное распределение электрической силы, симметричное относительно оси z, может быть представлено в вышеуказанной форме; для дальнейшего, однако, нет необходимости доказывать это утверждение.
Для нас важна (1ункция Q. Линии, по которым поверхности вращения Q=const пересекаются с меридиональными плоскостями, представляют электрические силовые линии. Построение их для какой-либо меридиональной плоскости для каждого момента времени дает наглядную картину распределения силовых линий. Если взять подобное оболочке пространство, заключенное между поверхностями Q и Q +dQ, и пересечь его в различных местах поверхностями вращения вокруг оси z, то для каждого подобного сечения произведение электрической силы на сечение, называемое Максвеллом индукцией через сечение, будет постоянным. Если выбрать систему поверхностей Q=const таким образом, чтобы приращения dQ между соседними поверхностями были одинаковыми, то вышеприведенное утверждение будет приложимо и при сравнении сечений разных оболочек.
симметрией вокруг оси z, и притом такой, что эта сила в любой точке совпадает с меридиональной плоскостью, проходящей через ось z, и зависит только от координаты Z этой точки и ее расстояния P=lp+y* от
оси Z. Компоненту электрической силы в направлении р, равную+ , мы обозначим через R, компоненту магнитной силы, перпендикулярную к меридиональной плоскости, равную у--через Р. Выскажем следующее утверждение: если П представляет произвольную функцию ?,z, t, удовлетворяющую уравнению:
и если ввести Q = р , то система
представляет собой одно из возможных рещений наших уравнений. Для доказательства этого утверждения заметим, что:
, = Sinn,. 1(1),
что соответствует электрическому диполю, ось которого совпадает с осью Z, а момент которого колеблется между значениями -{- £/ и -El с периодом Т. Таким образом, наше распределение силы представляет действие прямолинейного вибратора, имеющего весьма малую длину /, на полюсах которого скопляются максимальные количества электричества +Е и -Е. Магнитная сила в непосредственной близости к вибратору перпендикулярна к нему и равна:
Р АЕ In Д cos п/ sin 6.
В ПЛОСКОЙ фигуре, получающейся при пересечении меридиональной плоскости с равноотстоящими поверхностями Q=const, электрическая сила будет обратно пропорциональна расстоянию по нормали между двумя линиями Q=const только в том случае, если рассматриваемые точки лежат на равных расстояниях от оси z. В общем же случае справедливо правило, что сила обратно пропорциональна произведению каждого расстояния на координату р рассматриваемой точки.
Кроме р и Z мы введем в дальнейшем полярные координаты гиб, которые связаны с р и Z уравнениями р=г sin 6, z=r cos 6; при этом г обозначает расстояние от начала нашей системы координат.
Силы вокруг прямолинейного вибратора
Будем понимать под Е количество электричества, под / длину, под тп=~ величину, обратную длине волны, и под п = величину, обратную периоду. Положим
gsin(mr-nf) Это значение удовлетворяет уравнению
если принять, что т: Пг=Т: Х=А. Таким образом, отношение Х/Т должно равняться скорости света. При этом уравнение удовлетворяется везде, кроме начала координат.
Чтобы выяснить, какие электрические процессы в начале координат соответствуют распределению силы, характеризуемому функцией П, исследуем область, прилегающую к началу координат. Здесь можно пренебречь г по сравнению с X и mr по сравнению с пТ. Тогда получим
11= El sin nt; но так как ТО находим:
dxdz dydz dz dz "
Таким образом, электрические силы являются здесь производными потенциала:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [ 52 ] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156