 |
 |
 |
 |
где dTldr - градиент температуры в стенке колбы, нормальный к поверхности S.
Приведем решение для наиболее распространенных колб: оболочек цилиндрической и сферической формы.
Обозначим величины, относящиеся к внутренней поверхности колбы, индексом 1, а к наружной - индексом 2. Температуру окружающей среды обозначим Го. Тогда, интегрируя уравнение (7.3) по г и учитывая, что Q при прохождении через стенку остается постоянным, получаем для цилиндрической колбы единичной длины
-=(ЫТ, (7.4)
где Qm - тепловой поток через цилиндр единичной длины.
Учитывая, что и является в большинстве случаев слабой функцией температуры, с достаточной для практики точностью интеграл можно заменить на k{Ti-Гг), беря и для средней температуры Гср= (Г1-1-Г2)/2. Тогда для цилиндрической колбы единичной длины
Прошедший через внутреннюю поверхность колбы поток Qm в стационарном случае и при сделанных выше допущениях должен равняться потоку, отводимому с внешней поверхности в окружающую среду. Поэтому для внешней поверхности цилиндрической колбы единичной длины запишем
Qm=a(r2-Го)2лг2, (7.6)
где а - полный коэффициент внешнего теплообмена поверхности колбы с окружающей средой. Его определение в зависимости от различных факторов дано в § 7.3.
Совершенно аналогично решается задача для сферической колбы, и мы получаем
Сеф = 4к (Г Г,) / f-L .- -i-) (7.7)
дсф=а(Г2-Го)4яг22. (7.8)
В (7.7) и (7.8) Qcф - поток через всю поверхность сферы.
Таким образом, для каждой формы колбы два уравнения связывают пять величин: Q, Ti, Г2, ri и г. Значения и, а и Го считаем известными. Следовательно, для однозначного решения задачи должны быть заданы три величины из этих пяти. Так,
например, если известны Q, ri и Гг, найдем Ti и Т, при заданных значениях Q, Ti и Гг найдем ri и Гг и т. д.
Приведем хорошо известные выражения для температуры при заданных значениях Q, ri и Гг. Исключив из уравнений (7.5) и (7.6) или (7.7) и (7.8) Гг, получим:
для цилиндрической колбы единичной длины i
Г1-Го= Qm {1п[ (г2/г1)/(2яз<) ] -f 1/ (2яг2а)}; (7.9) для сферической колбы
ri-r„ = Qe*/[(---1 / (47:)1+Il/(4r,a)ll (7.10) IL\i 2 I I J ;
Далее находим значение Гг.
На практике часто удается упростить задачу, учитывая, например, тонкостенность оболочки, сильное различие значений тепловых сопротивлений стенки и внешней теплопередачи и др. Конкретные примеры рассмотрены ниже, а также в следующих параграфах и главах, относящихся к соответствующим типам ламп.
Приближенный учет неравномерности нагрева и охлаждения колбы. Приближенное решение может быть получено, если пренебречь теплообменом между отдельными частями колбы и допустить, что тепловой поток в каждой точке колбы и при неравномерном нагреве и охлаждении направлен нормально к ее поверхности. (Дальше рассмотрим уравнение, учитывающее тепловые потоки в стенках колбы и приведем критерий, позволяющий оценивать допустимость сделанного упрощения.)
Перейдем к плотности теплового потока q, под которой будем понимать поток, проходящий через единичную достаточно малую поверхность, нормальную к направлению потока. В пределе
qiAQlAS=dQldS.
При сделанных допущениях аналогично тому, как были выведены формулы (7.5) - (7.8), получим уравнения баланса единичных участков поверхности колб с координатами г, ф, z для цилиндра и г, ф, if для сферы и, таким образом, учтем неравномерность нагрева. Неравномерность охлаждения учитывается зависимостью Го от координат и коэффициентом а. Для цилиндра
9„.ц(-1, Ф, Z)--r,ln(r,/ri)-• ()
9охл.ц(г2, ф, 2) = ац[Гг(гг, ф, z)-Го(ф, z)]; (7.12) 9н.цГ1 = 9охл.цГг. (7.13)
Для сферы
9охл.сф(г2, ф, I]?) ==асф[Г2(г2, <р, I]?)-Го(ф, If)]; (7.15) н.сфПохл.сфГг. (7.16)
Тепловые потоки AQj с конечных участков поверхности колб найдем, проинтегрировав соответствующие уравнения (7.11) - (7.16) по Д5,-. Задача весьма упрощается, если для больших участков колбы или всей колбы в целом можно считать q или Т постоянными или заменить их эффективными значениями, т. е. свести к рассмотренному выше случаю. В дальнейшем при инженерных расчетах, не требующих большой точности, будем широко пользоваться этим приемом.
Условия решения этих уравнений аналогичны рассмотренным выше с той существенной разницей, что теперь величины 9н, Ти Тч, То, дохл являются функциями координат. Очевидно, результаты будут тем ближе к истине, чем ближе условия задачи соответствуют принятым допущениям. С этой целью рассмотрим уравнение, учитывающее тепловой поток по колбе, который нарушает принятое допущение.
Одномерное уравнение температурного поля колб и других узлов ламп. Более точное продольное распределение температуры при неравномерном нагреве может быть получено при учете продольных тепловых потоков в стенках колб или других узлах ламп, направленных от более нагретых к более холодным частям. Во многих практически важных случаях эту задачу в стационарном режиме можно решать при следующих допущениях: радиальный перепад температуры в стенках пренебрежимо мал по сравнению с перепадом между стенкой и окружающей средой, температура по периметру теплоотдающей поверхности является только функцией продольной координаты z. Очевидно, такие предположения пригодны для колб и других узлов лампы цилиндрической формы с ld.
При этих допущениях задача сводится к одномерной, и уравнение теплового баланса запишется так:
7«S-=Q,„,,-Q,„, (7.17)
где Qloxл и QiH - соответственно удельные (на единицу длины) мощности охлаждения и нагрева; S -площадь поперечного. сечения, по которому распространяется тепло в направлении оси Z в точке Z.
Если известны Qm, Сюхл, и и S как функции Тяги граничные условия, то уравнение (7.17) может быть решено на ЭВМ.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239