Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193

f = fiiQo МОЖНО записать в виде \Aol\/Acl Ф) < при /

= /180° или

AcLiO)>\AoL\ при f = /[80»-

(5.60)

Коэффициент усиления без обратной связи монотонно уменьшается с ростом частоты, поэтому если коэффициент усиления без обратной связи станет равен Ась Ф) на частоте меньше /jgQo, то на частоте / = /180= коэффициент усиления без обр1Тной свяи будет заведомо меньше, чем Ась (0). Следовательно, условие устойчивости можно переписать в виде

\Aol\ = Ас1ф) при /</

180°

(5.61)

Итак, частота, на которой Аоь становится равным Ась (0), должна быть меньше fm".

Приведенное условие устойчивости справедливо только в том случае, когда петля обратной связи F вносит незначительный фазовый сдвиг. Обычно петля обратной связи состоит только из резисторов, в этом случае данное требование выполняется.

Теперь используем другой подход к уравнению для коэффициента усиления с обратной связью, который внесет больше ясности в вопрос устойчивости. Снова обратимся к схеме на рис. 5.31. Входной сигнал Vs даст выходное напряжение Vq = - Aobs- Доля F этого выходного напряжения возвратится на вход, пройдет через ОУ с коэффициентом усиления - Аоь и появится на выходе: (Aobs) {-FAob)- Доля f этой составляющей выходного напряжения опять возвратится на вход, пройдет через ОУ с коэффициентом усиления - Аоь и появится на выходе (AolVs) i-FAob) i-FAob) = (AobVs) {-РАоьГ- Этот процесс повторяется бесконечное количество раз, а суммарное выходное напряжение можно выразить формулой

0 = (AolVs) + (AobVs) (- FAol) + (AolVs) (- FAql) + • • • = = AolVs [1 + (- FAob) + ( - FAol) + (- FAol) + • • 1 = = AolVs{1+x + x + :+...), (5.62)

где X == -FAol.

Пока л; < 1, данный бесконечный ряд будет сходящимся и записывается в сокращенной форме:

Vo = AoLvJil -х) = VsAoJil + FAol), Acl = Aodil + FAol), (5-63)

Ри этом Лс -конечная величина, т. е. система устойчива, есложно заметить, что последнее выражение для Ась идентично



формуле ДЛЯ Ась, полученной выше. При х > I 0° ряд расходящийся и коэффициент усиления с обратной связью стремится" к бесконечности. Таким образом, для устойчивости системы должно выполняться условие х = -FAql < 1 АО". Поскольку F-L положительная действительная величина, а Аоь становится отрицательным (т. е. ААоь = 180°) при / = /i8o°, условие устойчивости определяется выражением

/Mot 1< 1 при / = /i3o=. (5.64)

Поскольку Ась (0) = 1/F, (5.64) также можно выразить соотношением Ась{0)г> \Аоь\ при / =/i8o°. Данное условие устойчивости совпадает с аналогичным условием, полученным в результате предыдущего анализа.

5.18.1. Определение величины /i8o°. Из проведенного выше анализа становится ясно, что / = 1\ж и коэффициент усиления без обратной связи являются ключевыми параметрами, определяющими устойчивость ОУ и других систем с обратной связью. Выведем приближенное аналитическое выражение для /i8o° и найдем соответствующий коэффициент усиления без обратной связи. Для этого запишем уравнение частотной характеристики ОУ без обратной связи в виде: Аоь if) = Аоь (0)/(1 + /7 i) (1 + + а) (1 + if Из) •••> тде точки излома частотной характеристики расположены в последовательности fi < /г < /з •• > а fi много меньше всех остальных, т. е. < fl.

При / = /i сдвиг по фазе Адь примерно равен -45°. На частотах в диапазоне f\ < f < fl фазовый сдвиг составит около -90°, а при / = /2 он будет около -135 °, хотя если близко к /2, то он может быть несколько больше. Для дальнейшего анализа предположим, что /4 много больше /д. В этом случае сдвир по фазе Аоь достигает -180° где-то между /2 и /3. Теперь определим частоту, на которой фазовый сдвиг равен 180° (т. е. fiw)

Фазовый сдвиг Аоь задается выражением

- /-Аоь = /1(1 + /fi)+ .(1 + if Ik) + Z.(I + iflfz) + . • • =

= arctg ( /1) + arctg ( /2) + arctg ( /3) + .... (5-65)

Ha частотах, где f F> f\, arctg 90°. Далее предполагая,

что fl j> fl, вклад в фазовый сдвиг от /4 и других, более высоких частот точек излома будет мал. Следовательно, для - /Lol = 180" можно записать

180° 90° + arctg ( /2) 4- arctg ( /3),

ЗК что „дч

arctg ( /2) + arctg ( /3) 90°. Ф-



Анализируя треугольник, показанный на рис. 5.32, легко видеть, что tg 9 = X, следовательно, tg (90° - 9) = 1/л!, поэтому е = arctg X и 90° - 9 = arctg (1/х). Сложив эти выражения, получим arctg х + arctg (1/х) = 90°. Теперь с учетом (5.66) при fifi ~ будет справедливо равенство /з = 1/х и, таким образом, f/kfs/f т. е. =/2/3. В итоге / » (Ш/ - это частота, на которой общий фазовый сдвиг коэффициента усиления без обратной связи равен 180°.

Итак, частота, на которой фазовый сдвиг коэффициента усиления без обратной связи равен 180°, приближенно определяется

-в к


Рис. 5.32. Треугольник для определения fjgqo.

выражением / = (/2/3)при условии, что Д и /з достаточно далеко отстоят от /1 и /4. Условие для обычно очень хорошо выполняется, а вот условие для /4 и других, более высоких частот точек излома может иногда не выполняться, В таких случаях частота /i8o= будет несколько ниже (/2/3) но, как правило, не ниже, чем f. Равенство /iso" = (/2/3)

означает, что /шо" - это среднегеометрическое и /3 и на логарифмической частотной шкале /i80 будет лежать точно посередине между /2 и /3.

Теперь определим коэффициент усиления без обратной связи при / = /i8o° = (/2/3)Подставив / = (/0/3) в уравнение для Aql, получим

Aoiif = fm°)

VlW

(/./s)/v/i) (1 + / (/,/з) .) (1 + / . . .

(5.67)

Опуская члены, содержащие частоты более высоких точек излома (т- 6. /4, /5 и т. д.), как бесконечно малые, и раскрывая скобки между вторым и третьим сомножителями в знаменателе, получим

Aol ifm)--

I/ (/./s)"v/i] [1 - 1+ / им + i

-[(Ш/,][(ШЧ(/2/(/в)1

(/2 + Шг

h + h

(5.68)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [ 110 ] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193