Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

Эффективность спектральных методов, как отмечается в [54], прямо пропорциональна длине отрезка анализируемого ряда. Следует отметить, что в последнее время наряду с традиционными непараметрическими методами оценки энергетического спектра случайных процессов, основанными на взвешенном дискретном преобразовании Фурье, применяются методы оценки спектров на основе временного анализа [55]. Эти методы, включая и метод максимальной энтропии, так или иначе сводятся к параметрическому представлению наблюдаемых случайных процессов в виде процессов авторегрессии [15] либо смешанных процессов авторе-грессии-скользящего среднего (АРСС). В [56] отмечается высокая разрешающая способность оценки спектра методом максимальной энтропии, в [57] показана возможность повышения разрешающей способности при использовании более сложной модели АРСС.

Разрешающая способность параметрических методов спектрального анализа может быть сделана как угодно высокой и определяется отношением мощностей разрешаемых сигналов и шума [56].

Более высокие показатели разрешающей способности параметрических методов оценки спектров мощности случайных процессов по сравнению с методами, использующими ВДПФ, объясняются тем, что в параметрических методах учитывается априорная информация относительно наличия в спектре ярко выраженных экстремумов, обусловленных, например, гармоническими компонентами. Анализируя выражение для спектра мощности АР процесса, можно видеть, что для значений 0/е, удовлетворяющих для

заданной частоты ©о условию 1- S efee~5-0, наблюдаются рез-

fc=i

ко выраженные экстремумы в спектре мощности. Так, для АР процесса первого порядка и частоты ©о пик спектра наблюдается при 6-ехр /шо-

Высокая разрешающая способность параметрических методов спектрального анализа привлекла к ним внимание специалистов в области обнаружения сигналов [58]. Однако оказалось, что алгоритмы обнаружения гармонических сигналов на фоне белого шума с использованием спектрального анализа по методу максимальной энтропии уступают алгоритмам обнаружения на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ), причем потери возрастают с увеличением объема выборки. Действительно, алгоритм обнаружения гармонического сигнала на основе ДПФ является оптимальным алгоритмом по критерию отношения правдоподобия. При обнаружении гармонических сигналов на фоне небелого шума алгоритмы с использованием нелинейных параметрических методов спектрального анализа могут по эффективности превзойти алгоритмы обнаружения на основе ВДПФ, но их характеристики обнаружения весьма далеки от предельных.

Параметрическое представление стационарных случайных процессов в виде процессов АР либо АРСС позволяет с использова-114



нием временного подхода решить задачу оптимального обнаружения сигналов на фоне указанных помех. Преимущества временного подхода при синтезе алгоритмов обнаружения сигналов на фоне помех с неизвестным спектром мощности по сравнению со спектральным проявляется при ограниченном объеме выборки и при условии, что предполагаемая модель узкополосных помех адекватно описывает реальные помехи.

В [59] рассмотрена задача обнаружения полностью известного сигнала на фоне окрашенного шума, моделируемого действительным процессом авторегрессии с неизвестными параметрами, по критерию максимального правдоподобия. В этой же работе дано сопоставление оптимального алгоритма с алгоритмом типа оценки-подстановки, в котором в решающую функцию алгоритма при известной корреляционной матрице помехи подставляется ее оценка. Алгоритм максимального правдоподобия для АР помехи первого порядка обеспечивает выигрыш 1 ... 5 дБ в значении порогового отношения сигнал-помеха по сравнению с алгоритмом «оценка-подстановка».

В [60] для задачи обнаружения некогерентных радиосигналов на фоне односвязной марковской помехи с неизвестными параметрами предложено решающее правило, обеспечивающее практическую стабилизацию ВЛО независимо от коэффициента корреляции помехи.

Структура асимптотически оптимального подобного алгоритма обнаружения гармонического сигнала с известной начальной фазой в нормальном шуме с неизвестными параметрами энергетического спектра дана в [11].

В случае негауссовского распределения узкополосных помех в алгоритмах, основанных на временном представлении сигналов и помех, линейный декоррелятор помех заменяется нелинейным [27], при этом выигрУш в пороговом отношении сигнал-помеха для логнормальной помехи может составлять 8 дБ и более. Как спектральный, так и временной подходы к синтезу алгоритмов обнаружения сигналов на фоне случайных помех с неизвестным спектром мощности интенсивно развиваются. Стимулом для развития спектральных методов послужило открытие и применение быстрого преобразования Фурье (БПФ). Однако и временные методы обработки сигналов получили на вооружение мощные вычислительные методы, например рекуррентную процедуру быстрого обращения теплицевых матриц корреляции.

7.3. Представление стационарных случайных помех с неизвестным спектром мощности

Теплицева ковариационная матрица. Пусть имеется дискретная конечная выборка \={Xi, Х) из стационарного комплексного нормального случайного процесса. Для многих практических случаев среднее значение такого процесса M(Xi) =

• Trench W. F. An algorithm for the inversion of finite Toeplitz matrices J. Soc. Indust. Appl. Math. -1964. -Vol. 12, N 3. - P. 515-522.



=0. Ковариационная матрица Af(XX*)=S с элементами <лк является эрмитовой (2*=2) и положительно определенной, т. е, *2>0 для произвольного вектора 1. Здесь и далее знак означает комплексное сопряжение и транспонирование; М - символ математического ожидания. Для стационарного случайного процесса справедливо соотношение M{XiX*h) =M{Xi+sX*h+s) и поэтому матрица S ковариации является теплицевой [63] с элементами iaik=iOi-h и с учетом эрмитовых свойств a-j=ia*j. Таким образом, рассматриваемая теплицева матрица ковариации имеет структуру

OW-2 O/V-l

Pi 1

PW-2

pn-1

pn-2

(7.2)

pn-2 Pi

pn-i pn-2. . . Pi 1

где S - корреляционная матрица.

Характерным свойством ковариационной матрицы стационарного дискретного случайного процесса является то, что ее элементы на любой диагонали, параллельной главной, одинаковы. По этой причине первая строка или первый столбец полностью определяют элементы ковариационной матрицы.

Матрица A={%ki) размером NxN, обратная эрмитовой теплицевой матрице ковариации 2, также эрмитова; А=А*, 5Сы=Х*№ и обладает свойством персимметрии %hi=xn-i+i, n-k+г, заключающимся в симметрии элементов матрицы относительно обеих главных диагоналей. Использовав представление [63] для матрицы, обратной произвольной теплицевой матрице, а также свойство эрмито-вости и персимметрии, можно представить матрицу, обратную эрмитовой теплицевой матрице ковариации S, в виде

А(Х) =

1 О .

XI 1

1x1-о 1

%N-l

7.1 О 1

О .

lN-l

7.N-1

.. О



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95