 |
 |
 |
 |
где w (х) - плотность распределения;
1- [ 1/ (m+n+1) ] +2km.n (1 -[ i-- («) ]) +0 ;
(5.15)
- функция, обратная интегралу Лапласа; 0{п-) -остаточный член порядка п-.
В формуле (5.15)
" = , . . „ (mn + 0,17466(-4/ПП+ m** + п** + m +п)-тп (т -}- п + 1)
- 0,15 {т+п + тп + т + п)}.
Если т=п, то выражение для km,n упрощается:
{п + 0,17466 {-2п + 2п) - 0,15 (Зп + 2п)}.
«2 (2я + I)
Для бесконечно большой выборки (п-оо) v=l
п\2о>ЦхяЦх)йху.
(5.16)
Для одностороннего алгоритма Вилкоксона при нормальной функции распределения формула для коэффициента асимптотической относительной эффективности е{п-оо) совпадает с (5.16). Таким образом, хп->(х>=е.
Сопоставление (5.14) и (5.16) показывает, что величина v, входящая в (5.14), для коэффициента относительной эффективности к представляет собой поправочный член к коэффициенту АОЭ е. Результаты расчета по формуле (5.14) и сравнение их с расчетом для асимптотического случая показали, что отличие величины v от единицы для рассмотренных случаев невелико.
Наглядное представление о том, как изменяется коэффициент относительной эффективности и в зависимости от коэффициента ВЛО а и объема выборки, можно получить из рассмотрения таблицы. В табл. 5.1 приведены результаты расчета при нормальном распределении величины v для а 0,005... 0,100. При этом оценивается эффективность одностороннего алгоритма Вилкоксона по
Таблица 5.1
?г1-/г=20 | т=/г=40 | те=10 я=20 | m=-10 п = 40 | т=20 п=40 | ||
0,100 | 0,9404 | 0,9466 | 0,9505 | 0,9437 | 0,9466 | 0,9488 |
0,050 | 0,9469 | 0,9498 | 0,9521 | 0,9471 | 0,9468 | 0,9505 |
0,010 | 0,9578 | 0,9566 | 0,9558 | 0,9531 | 0,9461 | 0,9542 |
0,005 | 0,9602 | 0,9591 | 0,9573 | 0,9646 | 0,9452 | 0,9556 |
• Witting Н. А. Generalized Pitman efficiency for nonparametric tests Ann Math. Stat. - I960.- Vol. 31, № 2. -P. 405-414.
сравнению с оптимальным алгоритмом при значениях выборки от лг,т=10 до n,m=40.
Известно [41], что при п,т-оо для плотности распределения вероятности w{x), соответствующей нормальному закону, для рассматриваемого алгоритма е=0,955.
Результаты, приведенные в таблице, показывают, что относительная эффективность одностороннего алгоритма Вилконсона по сравнению с оптимальным алгоритмом, вычисленная для случаев ограниченной выборки, дает для и значения, мало отличающиеся от тех значений, какие пол}Д1аются для асимптотического случая. Так, при m=n= 10 отклонение для и в зависимости от а лежит в пределах примерно -1,5 ... +0,5%, а для т=и==40 -0,5... +0,2%. Такая точность вычисления и является достаточной.
Использование коэффициента АОЭ, как показали выполненные расчеты (см. сноску на с. 81), дает небольшую ошибку и для двустороннего алгоритма Вилкоксона, а также одностороннего знакового алгоритма, включая и спучш, когда распределения отличаются от нормального. В книге тоже указывается, что значение коэффициента АОЭ, полученное для асимптотического случая, мало отличается от значения этого коэффициента при ограниченной выборке. Так, при знаковом алгоритме, который сравнивался с оптимальным алгоритмом, для нормального распределения е= - 0,95 при выборке, равно 5; е=0,80 при выборке 10 и е=0,70 при выборке, равной 20. Для рассматриваемого алгоритма при п-оо е=2/я» 0,637. Можно найти и другие указания на возможность использования коэффициента АОЭ при ограниченных выборках.
Такая возможность основывается на том, что теория оптимальных асимптотических алгоритмов обнаружения сигналов состоит в отыскании статистики, распределение которой сходится к нормальной при п-оо. Для помех с симметричными законами распределения при независимой выборке для многих случаев уже при пЗО закон распределения мало отличается от нормального. Поэтому с увеличением выборки эффективность обнаружителя изменяется незначительно.
Проведенное в настоящем случае рассмотрение относилось к некоррелированным шумам. Однако отмечается (см. сноску на с. 81), что результаты моделирования для коррелированных шумов также приводят к заключению, что коэффициент АОЭ представляет собой устойчивый критерий качества, применимый при сравнительно малых выборках.
Исходя из всего сказанного, можно считать, что полученные в дальнейших главах результаты по значениям е, которые, вообще говоря, относятся к большим выборкам, при приближенных технических расчетах могут быть использованы и при малых выборках
Теория связи/А. В. Белакришнан и др.: Пер. с англ./Под ред. Б Р. Левина.-М.: Связь, 1972.
(n=20... 30). Для последнего случая следовало бы использовать коэффициент
и=Е%{т, п),
где б - коэффициент АОЭ, а х(т, п) -коэффициент, зависящий от объема выборки. Так как обычно %{т, п)»1, то х»б.
Глава 6.
ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА НА ФОНЕ ПОМЕХ С НЕИЗВЕСТНОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ
6.1. Предварительные замечания
В главе рассмотрены оптимальные рещающие правила для обнаружения детерминированных и квазидетерминированных сигналов на фоне коррелированных гауссовских помех с неизвестными параметрами по конечной дискретной входной выборке. Основной особенностью этих правил является независимость вероятности ложного обнаружения от интенсивности помехи. Рассматриваются случаи действительной и комплексной, одиночной и повторных выборок. Используются методы параметрической оптимизации обнаружения сигналов по критериям минимакса, подобия, минимума порогового отношения сигнал-помеха и максимального правдоподобия. Приводятся варианты структурных схем решающих правил и обсуждается их физический смысл. Приводятся расчетные формулы и результаты расчета характеристик обнаружения и энергетических потерь, связанных с необходимостью оценки неизвестной интенсивности помехи. Даются краткие рекомендации по возможной практической реализации рассмотренных решающих правил.
6.2. Обнаружение детерминированного сигнала на фоне гауссовской помехи с неизвестной интенсивностью
Постановка задачи. Рассматривается задача обнаружения детерминированных сигналов с априори известной формой и неизвестной интенсивностью на фоне гауссовской помехи с неизвестной интенсивностью [27, 41].
Пусть сигнал представлен совокупностью п действительных выборочных значений
s=]/va, (6.1)
где a=(ci,..., йп)" - детерминированный вектор-столбец, определяющий форму сигнала, нормированный по энергии условием аа=:1; v=ss - неизвестная интенсивность (энергия) сигнала; Т - индекс транспонирования.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95