 |
 |
 |
 |
Оно представляет собой условие равновесия образования и разрушения излучающих атомов «i по принятой двухуровневой схеме. Разность [fii (Го)/т1о-AAoi (ro)]dV представляет собой число фотонов, выходящих в 1 с без поглощения за пределы излучающего объема dVoC координатами Го.
Определим ДЛо1- Для этого найдем сначала число фотонов, поглощенных в единицу времени в объеме dVo с координатой Го из числа фотонов, возникших за то же время в объеме dV с координатой г (рис. 3.8). Как видно из вывода § 2.6, оно равно:
(rHilldvY-Ldp, (3.34)
где f{p) -вероятность того, что фотоны, возникшие в объеме dV с координатой г, «пролетят» расстояние р в направлении р без поглощения.
Очевидно, что АЛщ равно интегралу .выражения (3.34) по всему объему газа V, окружающему рассматриваемый элементарный объем dVo с координатой Го, деленному на dVo=dQp4p:
«(r)EfM . (3.35)
Подставляя значение АЛо! из (3.35) в (3.33), получаем интегро-дифференциальное уравнение проблемы:
»1 (Гр)
«1 (О =го1 (Го) -г,о (Го). (3.36)
Интегральное уравнение радиационного переноса возбуждения впервые было опубликовано Л. М. Биберманом (см. [0.5]) в стационарном варианте и Т. Холстейном [2.5] в нестационарном варианте без столкновительных членов в 1947 г. Они же дали первые решения конкретных задач. К настоящему времени выполнено много работ, посвященных разработке этой проблемы (см. [0.5]).
Методы решения уравнения переноса излучения. Строгое решение уравнения (3.36) представляет большие математические трудности, и в настоящее время оно мало пригодно для инженерных расчетов. Л. М. Биберман еще в 1948 г. предложил приближенный метод, который позволяет заменить решение интегрального уравнения решением алгебраической задачи (см. [0.5]).
Выражение dfjdp, характеризующее уменьшение потока фотонов с расстоянием, является быстро убывающей функцией р При малых значениях р и весьма медленно убывающей на больших расстояниях (см. гл. 2). Благодаря этому в установлении
концентрации возбужденных атомов большую роль играет обмен излучением между далекими областями, что приводит к относительно пологому ходу fii(r). Поэтому с достаточным приближением в формуле (3.36) можно вынести «i(r) за знак интеграла и приписать ему значение в точке Го, т. е. ni(ro), а оставшееся подынтегральное выражение приравнять:
dv=[i-e(r„)], (3.37)
где е(го) -некоторая функция Го. Тогда вместо (3.36) получим е(Го)го,(Го)-г,о(Го). (3.38)
Нетрудно видеть, что е(го) представляет собой вероятность вылета фотонов, возникших в объеме с координатой Го за пределы излучающего объема V без поглощения.
Л. М. Биберман вводит понятие местной эффективной продолжительности жизни возбужденных атомов, зависящей от*координаты Го: Тэф (Го) =Tio/e (го).
Величина Лэф(го) = 1/тэф(го) =Л1ов (го) может быть названа местной эффективной вероятностью испускания линии 1-0 с учетом реабсорбции и тушения. Подставляя Тэф в (3.38), получаем
«I (го) /тэф (Го) =Zoi (Го) -Zio (Го). (3.39)
Решим уравнение (3.39) относительно «/io(ro) = i ("о)/1б("о)-
Для этого раскроем значения 2:21 = 01/1/1 и Zio = plo«e«i. После несложных преобразований получим
(«1б/«о) Уго = ii/Р10) 11 + (1 /р1о«,зф)Г • (3.40)
Поскольку (rib/«o) = («oi/Pio) [см. формулу Больцмана и соот ношение Клейна - Росселанда (§ 2.4)], получим
Ую (Го) = 1 /[ 1 + 1 /ри. (Го) -зф (Го)1- (3-41)
Из уравнения (3.41) следует, что по мере увеличения числа ударов II рода ф/г) и эффективной продолжительности жизни
Тэф значение ую приближается к 1, т. е. условия в соответствующей точке разряда приближаются к равновесию между ударами I и II рода. Для нахождения у{г) необходимо определить значения Pip Пе(го), Тэф(го), т. е. е(Го). Значение е(Го) зависит от
формы спектральной линии и оптической толщины слоя от рассматриваемой точки до границы разряда.
На рас. 3.9 приведены значения yio(x) для нескольких опти-
ческих плотностей (одтр) Jrspio«e полученные Б. А. Веклен-ко методом местной эффективной продолжительности жизни (пунктирные кривые) и методом численного интегрирования (сплошные кривые), который дает точные результаты.
Среднее значение Тэф=т/6 для разряда в длинной цилиндрической трубке при отрЗ с достаточной для практики точностью равно [0.5, 2.5]:
при доплеровской форме линии
l.lV-p/ In(VTp)-. (3-42)
при дисперсионной (ударной) форме
Сравнение значений г/ю, вычисленных различными методами, и расчет потока излучения. Расчет из диффузионных представлений и методом местной эффективной продолжительности жизни дает завышенное значение для ую на оси и заниженное у стенки трубки по сравнению со значениями, найденными путем численного интегрирования строгого уравнения переноса (3.36). По мере приближения к равновесному состоянию, т. е. с увеличением kf,r.Jio, расхождение уменьшается. Если исходить из диффузионных представлений, то г/(0) зависит лишь от
произведения отрРо*
Решение интегрального уравнения показывает, что у слабо зависит и от оптической плотности {коГтр) в отдельности. Строгое решение дает конечное значение для концентрации излучающих атомов у стенки трубки, в то время как приближенные методы дают нулевое значение.
При известных значениях У (г), Фl(Vlo) вычисляется по формуле (3.17). Важно подчеркнуть, что расчет потока излучения из диффузионных представлений и из строгого уравнения переноса дает практически совпадающие результаты. Это объясняется тем, что при малых значениях у, когда велико расхождение, у мало влияет на Ф1, а при больших значениях у обе теории дают близкие результаты. Это обстоятельство позволяет при инженерных расчетах пользоваться более простыми диффузионными представлениями. В этом случае мы возвращаемся к уравнению, рассмотренному в начале параграфа:
-div {Оизл grad Пизл) =Zoi-Zio,
решение которого для цилиндра было рассмотрено в § 3.3 и в начале этого параграфа.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239