Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [ 99 ] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

На разностной сетке в методе маркеров и ячеек составляющая скорости W определяется в точке (г,/, й ±/2) и т. д. Для трехмерного уравнения Пуассона также ставятся граничные условия Неймана; введение дополнительной пространственной переменной существенно снижает скорость сходимости, и в связи с этим желательно рассчитывать решение при помощи прямых методов. Даже в этом случае время, необходимое для решения задачи, очень велико. Здесь большое значение приобретают контрольные и пробные расчеты на грубой сетке. Например, Уильяме [1969] для конвективных членов применял схему Аракавы (разд. 3.1.21) и прямой метод для решения уравнения Пуассона, что позволило сократить время решения этого уравнения до 25% от общего времени решения всей задачи. На машине UNIVAC 1108 для расчета одного слоя по времени потребовалось 2 секунды на сетке 14 X 14 X 14 и 96 секунд на сетке 60 X 32 X 34.

Как показали Азиз и Хеллумс [1967], задачу о пространственном течении несжимаемой вязкой жидкости можно поставить и решить, взяв систему уравнений, аналогичную (т)), 5)-системе (см. также Хирасаки [1967]). Обычно вектор вихря определяется следующим образом:

g-VXV. (3.616)

или (в покомпонентной записи через орты i, j, к) в виде

(3.6.17а)

dw dv " ду дг •

(3.6176)

. ди dw У~ дг дх

(3.617в)

dv ди дх ду •

(3.617г)

Если течение происходит в плоскости {х,у), то t,x - ty = О, а t,z = dv/dx - ди/ду, что отличается знаком от ранее принятого нами определения вихря 5. (Определение = - в случае плоского течения наиболее распространено, но не универсально.) Соответствующее уравнение переноса вихря представляет собой векторное уравнение, три его составляющих записываются так;

-= V.(VL) + -V2S.+?-V«, (3.618а)

=-V{ny) + -V%y + i-S/v, (3.6186)

= - V • (Vy + -it Пг + g • (3.618b)



(см., например, классическую книгу Ламба [1945])). Все методы расчета, разработанные для плоских течений, пригодны и в трехмерном случае. В этом случае (в отличие от плоских течений) в уравнениях появляются члены вида 1,-Vu, описывающие усиление вихря за счет растяжения вихревых нитей. В разностной форме эти члены можно или брать с предыдущего слоя по времени, или итерировать в неявных схемах подобно тому; как это делается с нелинейными конвективными членами, содержащими скорость.

В общем случае для иространственного течения функции тока ф как таковой не существует, т. е. не существует такой функции ф, что изолиния ij) = const представляет собой линию тока. Но для соленоидального векторного ноля (т. е. ноля, которое удовлетворяет уравнению неразрывности в трехмерном случае V-V = 0) существует так называемый векторный потенциал = 1[1л;1 + iji/j + фгк, такой, что скорость будет равна rot if. (Не надо путать векторный потенциал с потенциалом скорости в двумерном течении невязкой жидкости, который вводится условием, что ? = О во всех точках течения.) Таким образом,

V = VX»I, (3.619а)

«-=-5-- (3.6196)

di,y

Э-фи дх

--ЖГ-- (3-619Г)

Для плоского течения tf = (О, О, тг) и т]) = тг, что приводит к обычным в этом случае формулам для м и о. Из уравнений (3.619а) и (3.616) следует, что

VX(VXn-) = e. (3.620)

При определении tf возникает дополнительная степень произвола. Можно потребовать, чтобы вектор tf был солеиоидальным, т. е. чтобы

V.i) = 0. (3.621)

Можно показать, что это дает возможность записать уравнение (3.620) в виде векторного уравнения Пуассона

V4=-?. (3.622)

) См. также работу сотрудников Эймсского исследовательского центра НАСА Мартина и Болдуина [1972]. Д-р Мартин указал автору на ошибку, допущенную в первом издании настоящей книги, где в уравнениях (3.618) не было последних слагаемых.



Следовательно, на каждом шаге по времени необходимо решить три трехмерных уравнения Пуассона.

В трехмерном случае граничные условия па стенке с прилипанием уже не столь просты, как для плоского течения. Здесь уже не все составляющие вектора равны нулю; равны нулю только касательные к стенке составляющие и производная нормальной составляющей по нормали к стенке. Например, для стеикн X = Ха, параллельной плоскости (у, z), имеем

awx = o, 11) = 11)=0. (3.623)

Составляющие вектора вихря на стенке с прилипанием можно выразить через составляющие скорости по формулам (3.617). Опять па примере стенки х = Ха, параллельной плоскости ((/, z), будем иметь

= 0, Zy - dw/dx, = dv/dx. (3.624)

Азиз и Хеллумс [1967] предлагают находить составляющие вихря на стенке непосредственно из условия (3.624); на стенке при i = ia это дает

4w (ia -f 1, /, fe) - mi (ш -f 2, /, k) 2 Дх

ia, j, &

+ 0(Ax2). (3.625)

Аппроксимация второго порядка точности не нашла успешного применения, и данный подход не использовался для решения каких-либо задач со вдувом. Очевидно, вычислительные граничные условия для таких задач, рассмотренные в разд. 3.3, нужно сначала переписать в составляющих вектора скорости (и, и), а уже затем применять с должной осторожностью для (tf.g)-системы.

При обсуждении сравнительных достоинств (V, Р)-системы и (tf, 5)-системы произойдут некоторые изменения. Теперь для обеих систем необходимо решать три уравнения переноса параболического типа; уравнения (V, Р)-системы все еще остаются сложнее из-за наличия членов Di, /, и, а неявные методы все еще не нашли успешного применения для решения (V, Р)-систем. Для решения (t), ?)-системы Азиз и Хеллумс с успехом применили неявную схему метода чередующихся направлений.

В (V, Р)-системе необходимо решить одно трехмерное уравнение Пуассона VP = Sp с граничными условиями Неймана на всех границах, тогда как в (tf, g)-системе необходимо решить три трехмерных уравнения Пуассона V = -Однако в задаче о естественной конвекции, которую рассматривали Азиз и Хеллумс [1967], для каждого из этих трех уравнений Пуассона вдоль двух границ ставятся условия Дирихле, а вдоль третьей -



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 [ 99 ] 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199