Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 [ 98 ] 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

чем при решении эллиптического уравнения Vif = t,. Это объясняется различием граничных условий.

Если же требуется получить также нестационарное решение для давления, то и в )-системе необходимо решать уравнение Пуассона УР = 8 с граничными условиями Неймана. В случае когда применяются неявные схемы и требуется вычислять иоле давления на каждом шаге по времени А/, результаты можно получить быстрее решением (и, у, Р)-системы. Однако заметим, что при решении , )-системы при иомоши явных схем (которые, как сложилось исторически, чаще применяются для решения (и, о, Р)-системы) шаг но времени А/ настолько мал, что значение давления можно не рассчитывать иа каждом шаге по времени, а находить только время от времени. (Во всяком случае, обычно оказывается затруднительным разумно использовать все это множество значений давления.) Если ноле давления рассчитывается один раз за каждые десять тагов по времени или реже, то снова рекомендуется применять (i), )-систему.

Сравним эти две системы и в том случае, когда нужно получить нестационарную картину линий тока. В случае (i),Q-системы линии тока ij) = const строятся с помощью простой интерполяции. В случае же (и, у, Р)-системы они определяются интегрированием, причем наиболее точный способ состоит в решении уравнения Пуассона S/jp = Ьи/8у - бо/бл;.

Теперь рассмотрим случай, когда в исходной тестовой задаче для решения уравнения Пуассона используются прямые методы. Здесь важную роль играет время разработки программы (оно, конечно, зависит от предшествующего опыта), и если надо вычислять поле давления, то время разработки программы для решения (т)), Q-системы будет больше, так как при этом необходимо при помощи прямых методов решать два уравнения Пуассона с различными граничными условиями. Если же поле давления вычислять не надо, то время разработки программы для решения (i), )-системы будет несколько меньше, поскольку в большинстве прямых методов поставить условия Дирихле проще, чем условия Неймана. (Метод расчета распространения вектора ошибки из разд. 3.2.8 является исключением.) В этих случаях для решения уравнения Пуассона требуется меньше времени, чем для решения параболического уравнения переноса. Поскольку время решения одного уравнения переноса вихря t, меньше, чем время решения каждого из двух уравнений количества движения, и в этом случае (i), Q-система оказывается предпочтительнее.

Учет внешних сил в уравнениях не влияет на обсуждавшиеся выше сравнительные достоинства двух рассматриваемых систем уравнений. Также не оказывает влияния выбор системы



координат (цилиндрической, сферической или какой-либо иной ортогональной системы) или учет переменных свойств среды. Здесь может несколько измениться выражение, дающее определение для вихря Z, (можно использовать члены, аналогичные но можно вывести аиалотчиые уравнения. Например, если жидкость имеет переменную вязкость, то уравиение количества движения можно переписать так:

ди . ди , ди dt дх ду

дР , i ic d С ди\ , д Г / ди , до \-\\ ,о ас\?\

Re = pUoLIQ, \х = Д/До = 1 {х, у).

(3.608)

а - характерная вязкость (скажем, вязкость в невозмущенном потоке). Соответствующее уравнение переноса вихря можно вывести (см. задачу 3.34) в следующем виде):

= -v.(vs) +

Re г 1 дх- ду

дхду дхду

При помощи (ij), )-системы можно исследовать и гораздо более сложные задачи; Шавит и Лаван [1971] решали уравнение переноса вихря в цилиндрической системе координат для течения двух жидкостей с переменными свойствами.

Еще раз повторим, что определить положения маркеров в случае (i), Q-системы ничуть не сложнее, чем в методе MAC для (и, о, Р)-системы, и поэтому возможность получать картину линий отмеченных частиц в методе MAC не является преимуществом (и, у, Р)-системы перед (ij), )-системой. Картину же линий тока, несомненно, проще строить при решении (i),)-системы.

Однако исторически сложилось так, что при решении задач со свободной поверхностью пли задач с поверхностями раздела жидкостей рекомендуется брать (и,у, Р)-систему, поскольку именно таким образом чаще удавалось получить хорошие результаты. В случае же (ij), Q-системы возникает трудность с постановкой граничных условий на свободной поверхности, особенно для нестационарного течения со свободной поверхностью, как, например, в задаче о плескании топлива в баке (см. ссылки в разд. 6.4).

) Личное сообщение Д. Рида и проф. В. Оберкампфа, Техасский университет Остин.



Отметим также, что возможно обобщение (if, )-системы на случай трехмерных течений (хотя многие авторы утверждают иротивоноложное) и эта система ио-ирежнему будет обладать некоторыми преимуществами по сравнению с системой уравнений для физических переменных (составляющих скорости и давления; см. следующий раздел).

3.8. Трехмерные течения

Современные вычислительные машины дают возможность рассчитывать некоторые трехмерные течения жидкости. В случае иространственного течения несжимаемой вязкой жидкости уравнения Навье - Стокса, соответствующие уравнениям (3.509) -(3.510), имеют вид

ди , д {и) , д (uv) . д (uw)

dt дх ду дг ~

dv , д {uv) , д (v) . д {vw)

дГ дх ду dz ~ ~

dw . д (uw) . д (vw) . д {w)

~W "т дх ду Тг -

дх ду дг

(3.610a)

дР ду

(3.6106)

дР дг

(3.610b)

(3.611)

f = +-W = " (3.612)

Эти уравнения для физических переменных (составляющих вектора скорости и давления) можно решать теми же методами, что и уравнения в случае плоских течений. Некоторые обобщения на случай иространственных течений уже рассматривались в разд. 3.1. Например, ограничение на числа Куранта для явных схем (при отсутствии расщепления по времени) записывается так:

С + С + С<1, (3.613)

и kt , V At . W kt . ,гу пл л\

-дГ + +-дГ<1- (3-614)

Можно вывести и уравнение Пуассона для давления

+ + = (3-615)

в правую часть этого уравнения ио-ирежнему входит член dD/dt (Уильяме [1969]).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 [ 98 ] 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199