Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [ 96 ] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Di.; = д;--"" + ""д/-" . (3.5986)

Граничные условия для и и у находятся в соответствии с определениями, введенными на рис. 3.33. Например, при условии прилипания на стенке, вдоль которой / = да, имеем

иш = 0, Mi+i/2, ш = 0, «1-1/2, ш = О, (3.599)

Уш==0, У,-, t« = V2(y<, ш+1/2-f У<, ш-1/2), (3.600)

Уг, ш-1/2 = - У(, ш + 1/2. (3.601)

Если в ближайших внутренних точках (г, m)-f-l) и (г, ш-fД) берутся разности второго порядка 0{Ау), то соотношение (3.601) при определении значения У;, ш-1/2 в фиктивном узле, расположенном внутри стенки, приводит к условию Уг, w = 0. В разд. 3.3.2 (см. также задачи 3.24-3.26), было отмечено, что условия, аналогичные условию (3.600),- при определении значения скорости на стенке приводят к ошибкам в членах, оннсы-вающих диффузию вихря. Однако в методе MAC переменные определены таким образом, что влияние этих условий сказывается только на конвективных членах, которые при таком способе трактуются верно. Поскольку диффузионный член с составляющей скорости у не входит в уравнение количества движения в направлении х, ошибки не возникает.

Возможная постановка граничных условий для стенки со скольжением такова:

«г + 1/2, ш = «( + 1/2, ш + ь (3.602а)

Уг, ш-1/2== -Уг, ш+1/2. (3.6026)

Граничные условия на остальных границах, очевидно, аналогичны ранее приведенным условиям для сетки первого типа.

В методе MAC рассматриваются частицы-маркеры, которые не обладают массой и переносятся со скоростью конвекции. Они непосредственно не участвуют в вычислениях. Во внутренних точках нет обратного влияния маркеров, и поэтому вопрос о связанной с ними устойчивости не возникает. Прослеживая и графически изображая положения частиц-маркеров, можно получить картину линий отмеченных частиц, аналогичную дымовой картине в аэродинамической трубе или фотографии, полученной при визуализации потока за счет введения красящего вещества.



Положения, или лагранжевы координаты (xJJ, г/), каждой частицы-маркера находятся при помощи численного интегрирования от некоторого начального положения (Хр, r/JJ, занимаемого частицей в момент времени / = 0:

x = xO-f5«pd/, (3.603а)

yp=yl-\vpdt, (3.6036)

где Ир и Vp - составляющие скорости на эйлеровой сетке в той точке, где находится частица в данный момент времени. Используя разности вперед по времени (как это обычно делается в методе MAC), из уравнений (3.603) последовательно находим

х«+1 = х + ИрЛ/, (3.604а)

У1 = У1 + рЫ, (3.6046)

В методе MAC скорости частиц-маркеров находятся при помощи линейной интерполяции по двум переменным, например

=-ITTy-• (3.605)

где площади Л;, Лг, Лз и Л4 определяются положением точки (Хр, г/) в ячейке, как показано на рис. 3.34, а. Чен с соавторами [1969] применяли аппроксимацию второго порядка точности, указанную в подписи к рис. 3.34, б, что позволило увеличить точность вблизи экстремальных значений скорости. Большинство расчетов с помощью методов, подобных методу MAC, проводилось с четырьмя-пятью (в среднем) маркерами на ячейку.

Проведение расчетов линий отмеченных частиц присуще не только методу MAC и даже не только методам решения уравнений для физических переменных (см., например, Томан и Шевчик [1966]). Здесь такой расчет рассматривается на примере метода MAC, существенной частью которого он является и который интенсивно применялся для решения задач со свободной поверхностью, например задачи формирования поверхностной волны. Форма свободной поверхности не известна априори; она определяется в процессе решения по положению маркеров. (Ссылки на литературу по задачам со свободной поверхностью будут приведены в гл. 6.)

Здесь мы лишь отметим, что граничные условия на свободной поверхности заключаются в том, что касательные напряжения должны быть равными нулю, а нормальные напряжения



"з 9 1--

-.72 п-


Рис. 3.34. Нахождение скоростей частиц-маркеров в методе маркеров и ячеек. а - двумерная линейная интерполяция для Up:

AiUi + A2U2 + Л3Ц3 + AjUj б - интерполяция второго порядка точности для Up (Чен с соавторами [1969]):

«р = Y ("6 - «Л + у («2 - Из) + Y "- ("S + "4 - 2«5) +

-Ь Ь («2 -f «8 - 2«5) -Ь ("З + ~ "1 - "э) • « = /Д* Ь = ЧУ-

должны уравновешиваться приложенными извне нормальными напряжениями. Для постановки этих условий необходимо знать не только положение свободной поверхности в ячейке сетки, но также ее наклон и кривизну. В таком случае форма поверхности оказывает влияние на динамику течения за счет эффектов поверхностного натяжения и введения «дробных ячеек», которые



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 [ 96 ] 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199