Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [ 94 ] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

ди д (и) д (ыу) дР I f ди ди Ч п58Пя) dt + дх + ду ~ дх + яЛ дх + ду ) --ОУиа) ду д(иу) д{у) дР 1 f ду ду \

Эти уравнения «консервативны» для количества движения так же, как и уравнение (2.10) «консервативно» для вихря. Продифференцировав уравнения (3.580а) и (3.5806) и сложив результаты, получим уравнение Пуассона для давления, аналогичное ранее выведенному уравнению (3.525):

\2р д(и) д{их>) д (Х>) дР

дх дхду ду dt

, \ dD , dD \ „ /о го, \ + (3.581а)

где D - дивергенция скорости, т. е.

Очевидно, что член Sp в уравнении (3.581) равен члену 5 в дифференциальном уравнении (3.525).

Приведенное уравнение Пуассона обладает замечательным свойством, которое впервые было рассмотрено в Лос-Аламос-ской лаборатории (Харлоу и Уэлч [1965], Уэлч с соавторами [1966]) при разработке известного метода маркеров и ячеек (метод MAC). Это свойство состоит в том, что в уравнении Пуассона (3.581) нужно рассчитывать члены, содержащие D, хотя уравнение неразрывности (3.509в) дает D = 0. Из-за несовместимости граничных условий или из-за недостаточной степени точности итерационного рещения уравнения Пуассона конечно-разностный аналог D, как правило, не равен нулю, т. е. Dij=Q. Члены уравнения (3.581), содержащие D, можно было бы приравнять нулю, не меняя при этом порядка величины ошибки аппроксимации, однако поскольку уравнение Пуассона решается итерационными методами, ошибка будет накапливаться. В результате в уравнениях количества движения появляются не только ошибки, но и возможно возникновение неустойчивости, связанной с нелинейностью. Надлежащий расчет членов, содержащих D, может устранить эту неустойчивость. Производная по времени dD/dt должна быть определена с помощью разностной формулы, в которой принимается = О

3.7.2. Основные уравнения

Уравнения количества движения в консервативной форме можно записать так:



независимо от того, какие конечно-разностные выражения взяты для du/dt и dv/dt. (Тогда в случае применения разностей вперед по времени получается dD/dt = - D" А/.)

Неустойчивость, связанная с нелинейностью, и средства ее устранения впервые были рассмотрены Харлоу и Уэлчем [1965]. Аналогичное поведение отмечали и другие авторы, применявшие метод маркеров и ячеек, например Паньяни [1968], Гоэйн и Притчетт [1966], Слотта с соавторами [1969], а также Чен с соавторами [1969], пользовавшиеся модифицированным методом маркеров и ячеек. В более общем случае неустойчивость, связанную с нелинейностью, для других нестационарных решений исследовали Хёрт и Харлоу [1967] (мы рекомендуем читателю ознакомиться с их работой). Донован [1968, 1970] и Путре [1970], которые брали несколько отличные уравнения и такую же, как в методе маркеров и ячеек, структуру разностной сетки, обнаружили аналогичное поведение решения (см. разд. 3.7.4). Уравнения, которые решали последние авторы, получаются преобразованием при помощи уравнения неразрывности (3.509в) следующих производных, входящих в уравнения (3.380):

Кроме того, эти авторы полагали также в уравнении (3.581) D = О в членах, содержащих пространственные производные от D. В результате они получили систему уравнений

ди , д{и) djUv) дР 1 f ди дЧ \ locao

дУ , d(uv) д(у) дР I f дУ дЧ \ /о гоО(.ч

~дГ~дГ" ду ~ дуЯеУдх дхду) l--oe-io;

,.р--,--. <3.684)

Если исходить из указанных выше работ, то могло бы показаться, что в уравнении (3.581а) член VD не столь важен, как член dD/dt. Однако поскольку в конечно-разностной форме уравнение неразрывности не выполняется точно, не будут выполняться точно и конечно-разностные аналоги соотношений (3.582). Таким образом, в уравнениях (3.583а) и (3.5836) соответствующие диффузионные члены не будут консервативны. Уильяме [1969] также сохранял член dD/dt, применяя схему «чехарда» для производной по времени совместно со схемой Аракавы (разд. 3.1.21). Так как он использовал прямой метод решения уравнения Пуассона, ошибка, связанная с итерационными мето-



(3.586)

bv

bv

I by

I-i by

/-1/2*

Значит, эту величину можно вычислить по ее известному значению во внутренней точке / - 1. Применяя уравнение неразрывности в точке / - V2, определяем

=-41 . (3.587)

Ьх by by j

дами, для уравнения (3.581а), записанного в цилиндрических координатах, была равна нулю.

Можно построить методы, в которых условие D = О выполняется тождественно, т.е. в которых сохраняется масса (объем); см. Пиачек и Уильяме [1970].

3.7.3. Граничные условия для простейших физических переменных

Граничные условия вдоль стенки с прилипанием имеют следующий простой вид: «да = О и Vw =0 для всех моментов времени. Это, очевидно, дает большое преимущество при использовании неявных схем, поскольку для граничных условий не требуется дополнительного итерационного процесса. Однако успешное применение неявных схем при решении уравнений, за-иисанных для физических переменных, сталкивается с некоторыми трудностями, связанными с нелинейной неустойчивостью уравнения для давления (Азиз [1966], Азиз и Хеллумс [1967]), которую можно устранить, сохраняя член dD/dt в уравнении (3.581а) или в уравнении (3.584). Заметим, что в случае ирили-пания скорость в угловой точке при обтекании выпуклого угла будет однозначна. Условие скольжения можно ставить вдоль верхней границы или вдоль стенок со скольжением. Для параллельной оси X стенки со скольжением Vw = 0 и (вероятно) ди/ду\т = 0. Для узла, принадлежащего стенке, из последнего условия (в случае пространственных разностей со вторым порядком точности) получаем = Иш+ь В вершине выпуклого угла при условии скольжения значение скорости будет многозначным.

На входной границе (см. рис. 3.22) составляющая скорости и часто задается в виде и(у) = Uq. Составляющая скорости v часто полагается равной нулю или для нее ставятся более «мягкие» условия dv/dx = 0 или Wi, / = Уг,/, как это делает Слотта с соавторами [1969]. Аналогичное условие для v на выходной границе (Слотта с соавторами [1969]) дает

(3.585)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [ 94 ] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199