Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

3.6.5. Источниковые члены и жесткие уравнения

Уравнения для температуры и для концентрации вида (3.543) могут содержать дополнительный член типа +аГ. Этот источниковый [а < 0) или стоковый (а > 0) член может описывать, например, выделение и поглощение внутренней энергии при химической реакции, когда скорость реакции зависит от температуры, или уменьшение растворенного кислорода в крови, когда молекулы кислорода захватываются красными кровяными тельцами. Возможны и другие формы этого члена, например а{Т-Т*) или аТ".

Добавление такого члена в уравнение (3.543) кажется достаточно безобидным, поскольку при этом не требуется дополнительной дискретизации по пространственной переменной. В действительности же при исследовании устойчивости этот член, который делает уравнение «жестким» (Кертис и Гирш-фельдер [1952]!)), может оказаться доминирующим по сравнению с другими членами.

Для простоты рассмотрим уравнение с одним только источииковым членом. В этом случае задача описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

dTldt = аТ, (3.569)

которое имеет точное решение

T{t) = T,e"f, (3.570)

где Ti - начальная температура. При а>0 это точное решение соответствует экспоненциально растущей температуре. Очевидно, «устойчивое» конечно-разностное решение уравнения (3.569) было бы ошибочным, поскольку его точное решение «неустойчиво». Для таких решений условие устойчивости фон Неймана необходимо модифицировать и записать так:

IG К 1-4-О (АО. (3.571)

Но больший смысл имеет критерий относительной устойчивости, предложенный Хеммингом [1962]. Идея этого критерия заключается в требовании, чтобы эксионенциально растущая ошибка E{t) не «забивала» точное экснонепциальное решение; тогда, если E{i) = Eie\ то для относительной устойчивости требуется выполнение неравенства b < а.

Но даже в случае эксионенциально убывающего решения (а < 0) такой член в правой части уравнения важен для устой-

) Кертис и Гиртфельдер [1952] ввели понятие «жесткого» уравнения для конечно-разностных уравнений, относя его к случаю, когда \1/(аМ) \ < 1. Они также рассмотрели обыкновенное дифференциальное уравнение более общего вида, чем уравнение (3.569).



чивости. Рассмотрим схему «чехарда» для уравнения (3.569):

= аГ,

Г+==(2аА0Г + (1)Г

7" = (1)Г+ (0) Г~\ -2аМ Г .1 О,

(3.572)

(3.573а) (3.5736)

(3.574)

Собственные значения Я определяются следующим образом:

2аМ-1 II

1 -Я =0. -2аМ% - 1 = 0,

, 2а ± У4а + 4 ., , /-р-;-п-гРГ

(3.575) (3.576) (3.577)

Рассмотрим малые значения А, такие, что аА/ «С 1; тогда

(3.578)

и отсюда

Vl +а2А/2« 1 + 1/2а2А2

Я+ = 1 +аД + 1/2а2А2, Я = - 1 + аА-1/2а2А2

(3.579а) (3.5796)

При а>0 будет Я+> 1, что соответствует точному экснонен-циально растущему решению, но при а<0 получаются Я >1. Несмотря иа то что точное решение эксноненциальио затухает и имеет соответствующий конечно-разностный аналог, отвечающий значению %+, дискретизация приводит к появлению второго решения, которое растет экснонеициально и «забивает» точное решение.

Упражнение. Показать, что для конечно-разностной схемы с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственным переменным, соответствующей уравнению (3.569), при а < О условие статической устойчивости имеет вид Д2/а, а условие динамической устойчивости - вид Д<<

Обзор численных методов решения «жестких» уравнений можно найти в работе Зейифельда с соавторами [1970], применение этих методов к решению гидродинамических задач рассматривал Блоттнер [1970]. В общем случае «жесткие» (источниковые) члены в уравнении рекомендуется вычислять иа {п-\-\)-и слое по времени, однако при таком «неявном»



Представлении этих членов не требуется применения неявных схем для решения всей системы уравнений на («+1)-м слое, поскольку при этом в узловой точке ( используется только значение "+. Полностью неявная формулировка задачи в случае жестких уравнений при а < О обеспечивает безусловную статическую устойчивость решения, а также его динамическую устойчивость (см. задачу 3.33).

3.7. Методы решения уравнений для простейших с()изических переменных

Уравнения Навье - Стокса для физических переменных и, v и Р в безразмерном виде приведены в разд. 3.5 (см. уравнения (3.509) и (3.510)). Постановка задачи, описываемой этими уравнениями, совершенно аналогична постановке задачи, описываемой системой уравнений для ijj и , за исключением некоторых дополнительных аспектов. Здесь будут обсуждаться преимущества и недостатки (м, и, Р)-систем по сравнению с (ijj, С)-системой.

3.7.1. Общие замечания

Для того чтобы отразить эллиптический тип исходных дифференциальных уравнений, давление в (м, и, Р)-системе необходимо определять, решая уравнение Пуассона так же, как это делалось в разд. 3.5. Методы, разработанные для анализа устойчивости решения (ijj, С)-системы, можно непосредственно применять и для исследования устойчивости решения (м, и, Р)-системы. При линеаризации уравнений (3.509) члены с градиентом давления исчезают, а члены типа и{ди/дх) приводятся к виду й(ди/дх), где й - постоянный коэффициент. Тогда линеаризированное уравнение количества движения будет совпадать по виду с линеаризированным уравнением переноса вихря, и, следовательно, для исследования их устойчивости можно использовать одни и те же методы, получая при этом одни и те же условия устойчивости. Решать уравнение Пуассона для давления можно любым из методов, рассмотренных в разд. 3.1 и справедливых также в рассматриваемом случае по крайней мере с точки зрения линейного анализа устойчивости. Уравнениям количества движения можно придать простую консервативную форму, если, как и в случае уравнения переноса вихря, член V-V« заменить на V-(«V). Но применение идеи консервативности в отношении сохранения массы в этом случае осложняется. При решении уравнения Пуассона потребуется отказаться от консервативной формы уравнения неразрывности, в чем мы сейчас и убедимся.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 [ 93 ] 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199