Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

•2 -

+ 43-. „• (3.562)

i.2 ду

i, 2

По схеме с центральными разностями получаем

и 2 t,y

(i. 3 - i. 2)1 - {Ti, 2 - Ti. X)ly 923 - -71

Лг/ Ay

(3.563)

Такая запись дает возможность понять смысл члена дТ/ду, являющегося градиентом потока тепла в точке (i, 2). Используя терминологию, принятую в методе контрольного объема (разд. 3.1.2), можно сказать, что q\2 представляет собой поток тепла, вытекающий из узла 1 (на стенке) и втекающий в узел 2. Таким образом, для того чтобы стенка была численно адиабатической, qi2 должно быть равно нулю, что приводит к условию 7; i = Г; 2- Значит, если не выполнено условие 7 = 7-+!, то в вычислительном алгоритме возникает передача энергии менсду стенкой и жидкостью. Экстраполяции высокого порядка для условия dT/dy\w = О будут численно соответствовать адиабатической стенке только тогда, когда они согласованы с разностным аналогом высокого порядка, принятым для дТ/ду в точке {i,w \ ).

При интерпретации формального порядка величины ошибок аппроксимации этих выражений имеет место широко распространенное заблуждение. Из уравнения (3.559), казалось бы, следует, что число Нуссельта находится только с первым порядком точности. Но это заблуждение. Если, как указано выше, во

сделано в схеме Миякоды (3.529) при решении уравнения для давления.

При вычислении градиента на стенке особенно важно, чтобы его конечно-разностное представление было согласовано с конечно-разностной схемой, используемой во внутренних точках. Если вычисленные значения температур во внутренних точках рассматривать просто как известные величины, то в случае адиабатической стенки для обеспечения условия дТ/дп = О можно брать экстраполяцию высокого порядка точности. Один из возможных вариантов формулы для определения температуры на адиабатической стенке имеет следующий вид:

7«, = 4Г+,-ЗГ+2. (3.561)

Однако такое представление не является численно адиабатическим. Для определенности рассмотрим стенку, параллельную оси X при / = 1. Тогда в точке {l,w -\- 1) градиент потока тепла дается членом УГ;, 2, который определяется равенством



внутренних точках используются соответствующие конечно-разностные представления, то уравнение (3.559) будет давать алгебраически правильную интенсивность теплопередачи в безразмерных переменных, которая фактически получается в результате решения при заданной температуре степки.

Однако если на стенке ставится условие адиабатичности (3.560), то стенка будет численно адиабатической, т. е. будет отсутствовать передача энергии от стенки к жидкости. В этом случае число Нуссельта определяется точно и является задаваемым параметром задачи, подобно числу Рейнольдса. Тогда вопрос о формальной ошибке анироксимации будет состоять не в том, насколько точно определяется число Нуссельта, а в том, насколько точно рассчитана температура на стенке при заданном числе Нуссельта. Записывая равенство (3.559) в виде

7t«+i = 7t« + NuAn+0(Ап2), (3.564)

убеждаемся, что температура на стенке определяется со вторым порядком точности.

Для нахождения поля температур с граничными условиями Неймана можно было бы брать и сетку второго типа, изображенную на рис. 3.24. Задание числа Нуссельта на стенке дает возможность определить температуру T/a-i в узле, находящемся внутри стенки, при помощи формулы

7/«-i==7/«-NuAn. (3.565)

Тогда численно условие адиабатичности удовлетворяется иоста-новкой условия Tja-x - Тja- Но ссли рассмэтривается случай, когда на стенке задается температура Гш, то линейная интерполяция дает

Т!а-Х = 2Т-Т,а\ (3.566)

полученный при этом результат будет иметь первый порядок точности, и здесь возможно появление ошибки,, связанной с нарушением ограниченности решения (см. обсуждение граничного условия на стенке для вихря в разд. 3.3.2).

Распределение температуры на входной границе В 4 потока (рис. 3.22) должно быть задано. Форма этого распределения, конечно, произвольна, но особенно простым и разумным является распределение, соответствующее автомодельному решению в пограничном слое на входной границе (Шлихтинг [1968]).

Для горячей или холодной стенки В 2, расположенной выше по потоку от уступа, удобное распределение температуры, соответствующее автомодельному решению в пограничном слое, существует лишь при Е = О и Рг = 1. В этих случаях профиль



температуры (приращение температуры) и профиль скорости идентичны.

Если в качестве характерного приращения температуры для уравнения (3.543) выбирается разность между температурой в невозмущенном потоке на входной границе В 4 (рис. 3.22) вне пограничного слоя и температурой на стенке В 2, то распределение температуры, соответствующее автомодельному решению в пограничном слое, будет иметь следующий вид:

Т = 0, Г(В4) = м(В4), если В 2 -холодная стенка;

(3.567а)

Т=\, (В 4) = 1 - м (В 4), если В 2 - горячая стенка.

(3.5676)

В обоих этих случаях (при Е = 0) безразмерная температура меняется в интервале от О до

Заметим, что если расчет температуры проводится на гибридной сетке с шахматным расположением узлов (рис. 3.24), то профиль температуры на входной границе должен задаваться иа линии, отстоящей на расстояние Ах/2 от линии, иа которой задается профиль скорости, что приводит к несогласованности.

Условия для температуры на других границах можно ставить так же, как и условия для вихря в разд. 3.3. Условия для температуры и для вихря должны быть согласованы; в частности, на границе В 3 в случае условия стенки со скольжением эта стенка должна быть адиабатической. Если в уравнениях, аналогичных уравнениям (3.484) или (3.485), на выходной границе В 6 необходимо учитывать диссипативную функцию Ф, то (поскольку Ф фиксирована в течение всего времени и поэтому исключается возможность приводящего к неустойчивости обратного влияния) эту функцию можно определять при помощи экстраполяции с любым порядком точности или при помощи односторонних разностей. Рекомендуется экстраполяция

Ф/. / = 72 Ф/-1, / - /2Ф/ 2. /, (3.568)

имеющая второй порядок точности.

Аналогичные замечания применимы и для простого уравнения, описывающего диффузию для концентрации компонент. Если стенка представляет собой проницаемую мембрану, то на ней ставится условие Неймана.

Обсуждение критериев сходимости и начальных условий, проведенное в разд. 3.4, применимо также и к уравнениям для температуры и для концентраций компонент.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 [ 92 ] 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199