Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Если ввести безразмерное давление, относя его к характерному давлению Р", т. е. положить РР/Рп то это уравнение примет вид

PdR=R. (3.533)

Этот интеграл можно легко записать в конечно-разностной форме в виде суммы, связывая при этом Р с площадью ячейки, взвешенной с учетом применяемого конечно-разностного метода. Для методов второго порядка соответствующая взвешенная площадь имеет величину АхАу. Для точки, лежащей на стенке, как, например, точка (1,/) (в случае сетки первого типа при расчете течения внутри замкнутой прямоугольной области), соответствующая площадь ячейки равна АхАу/2. Для угловой точки, такой, как точка (1,1), площадь равна АхАу/4. Вводя обозначения Х = {1-\)Ах и Y - {J-\)Ay, сумму можно записать в следующем виде: /-1 /-1 J-1 J-1

S S Pi, / Ах Ау + Р,, / Ах Ау/2 + Е Р;. / Ах Ау/2 +

+ Z Pi. 1 Ах Ду/2 + I Pi. J Ах Ау/2 + г=2 (-2

+ (Pi, 1 + Pi, у + Р/. . + Р/. j) Ах Ау/4 = XY. (3.534)

Разделив обе части этого равенства на АхАу и учтя, что XF/(AxAy)= (/- 1) (/-1), получим

S £ Pi. i + S (i, i + Pi. /)/2 + t (Pi. 1 + Pi. /)/2 +

(=2 1=2 i~2 i=2

+ (Pi. 1 + Pi. .r + Р/, 1 + Pi. y)/4 = (/ - 1) (/ - 1). (3.535)

После того как получено решение уравнения Пуассона для Р,-, / с принятым Р"= 1 (или какой-либо другой константой), вообще говоря, равенство (3.535) не будет выполняться. Тогда находится сумма, которая стоит в левой части равенства (3.535) и которую мы обозначим через 5, и давление подправляется так, как указано ниже.

Упражнение. Показать, что давление Pi, /, полученное при решении уравнения Пуассона, следует заменять на Pi, i - S/L, где S - сумма, стоящая в левой части равенства (3.535), а L = (/ - 1)(/ - 1).

Поскольку физическое давление нельзя определить, не решая термодинамической задачи, опубликованные решения для давления, в которых принималось р" = Рг=1, будут неполными, но их нельзя считать неправильными. Мы считаем, что



Разделив па pCp{uo/L) {Ti То), получим Далее,

=: V-(Vr)H--ЧТ-\--=-Ф. (3.539)

(X 1

Pr-Re Ре

(3.540)

решение, в котором стенки адиабатические и диссипация отсутствует и которое удовлетворяет уравнению (3.535), является более обоснованным эталонным решением, чем решение, полученное при Р" = 1-

3.6. Расчет температуры и концентрации

Для несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами при отсутствии внешних сил динамика течения не зависит от его термодинамики. Как только установлена кинематика течения (через поля функции тока г)) и вихря ), можно найти распределение температуры при различных граничных условиях. Аналогично можно решить и многие задачи о концентрации.

3.6.1. Основные уравнения

Для нестационарного течения несжимаемой жидкости с постоянными свойствами и при отсутствии источников уравнение энергии приводится к следующему виду (Шлихтинг [1968]);

9СрЩ=ШЧ + ф, (3.536)

где все переменные являются размерными величинами, а Ф - диссипативная функция, определяемая равенством

*-4(f)+(f)V(t + f)- (З.М7)

Как и в разд. 2.2, запишем эти уравнения в безразмерных переменных, введя характерную скорость ыо, характерную длину L и характерное время конвекции (Г/йо). Помимо этого введем характерную положительную разность температур Ti - 0- (Например, если решается задача об обтекании изображенного на рис. 3.22 обратного уступа, основание которого нагрето, то в качест ве fi можно взять температуру основания уступа, а в качестве Го - температуру невозмущенного потока на входной границе.) Тогда уравнение (3.536) примет вид

рСр [) (Г, -f,) = k(fy- То) VT + Ц () ф. (3.538)



pCpL{T, - Го) Г, - Го puoL Re

(3.541)

где Е - число Эккерта. Учитывая уравнение неразрывности V- V = О, получаем

V.(V7) = V-vr + rv-V = V-vr. (3.542)

Подстановка этих результатов в уравнение (3.539) дает уравнение энергии в безразмерных неременных

=-V-(Vr) + V27 + pQ, (3.543)

Ф = 2

.fej J + l + J • (3.544)

Если в уравнении (3.543) заменить Т на , а Ре на Re и исключить из рассмотрения диссинативиый член, то получится уравнение переноса вихря. Следовательно, все конечно-разностные методы, рассмотренные в этой главе, применимы и для решения уравнения энергии. Поскольку функция Ф, описывающая диссипацию, ие зависит от переменной Т (т. е. обратная связь отсутствует), она не влияет иа исследование устойчивости. Действительно, так как поле скорости теперь фиксировано, анализ устойчивости линеаризованного уравнения в данном случае более приемлем, чем для уравнения переноса вихря.

Для газов число Прандтля Рг = 0(1), поэтому Ре = О (Re) и для решения уравнения энергии монно применять те же методы, что и для уравнения переноса вихря. Для нефти Рг > 1, а для жидких металлов Рг <С 1. В этих случаях числа Пекле и Рейнольдса сильно отличаются и для решения каждого из двух этих уравнений могут подходить различные методы. Более того, для описания нестационарного поведения каждого из этих уравнений могут потребоваться разные масштабы времени. Исходя из этого, Браун [1966] предлагает выбирать различные шаги по времени для двух этих уравнений.

Заметим, что поскольку уравнение энергии отщеплено от уравнений движения, то по одному известному решению для ноля течения можно найти распределение температур, соответствующих различным числам Ре и Е и различным граничным условиям (см., например, Роуч и Мюллер [1970]). Заметим также, что поскольку уравнение для Т линейно, для его решения при различных Ф можно не обращать каждый раз заново оператор Лапласа, что позволяет проводить расчет многих разнообразных вариантов распределения температуры. Кроме того,

где Рг - число Прандтля, а Ре - число Пекле. Кроме того,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199