Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Время т не зависит от размера ошибки и поэтому приближенно представляет собой время, нужное для сходимости.

В качестве характерного примера несущественности начальных условий рассмотрим задачу об обтекании обратного уступа (рис. 3.22). Автор данной монографии решал эту задачу, принимая в качестве начальных условий г) = О во всех внутренних точках и вдоль границы В 1-В5-В2, задавая на входной границе значение г), соответствующее течению в пограничном слое, и считая, что граница ВЗ является «крышкой», т. е. i;(B3) = = г)(1,/); для вихря всюду полагалось = 0. Такое начальное приближение кажется совершенно неразумным. Однако после первой итерации при решении уравнения Пуассона с граничными условиями на входной границе, заданными по формулам (3.478), всюду появилась отличная от нуля скорость конвекции. К моменту л = 30 формировалась вполне правдоподобная зона возвратно-циркуляционного течения, а это указывало на то, что начальное приближение оказалось лучше, чем можно было ожидать. При таком грубом подходе для окончательной сходимости при Re > 1 потребовалось такое же машинное время, как и при общепринятом подходе, заключающемся в расчете очередного варианта при начальном приближении, взятом по результатам предыдущего варианта, полученным при ином Re или иных условиях на входной границе.

Начальные условия могут оказывать влияние в методах расчета стационарных течений при использовании «непрерывных замещений» при задании начального приближения в нестационарных методах, если уравнение Пуассона решается с недостаточной степенью точности, и в неявных методах, если граничное условие на стенке (ZZY" недостаточно проитерировано. В этих случаях плохие начальные условия могут привести к неустойчивости, связанной с нелинейностью уравнений. (В двух последних случаях неустойчивость можно предотвратить уменьшением А на начальной стадии расчета.) Даже в случае простейших уравнений, когда они решаются при помощи многослойных схем, начальные условия могут вызвать возникновение лишенных смысла осцилляции.

Поскольку данные на предыдущем слое по времени иногда могут быть очень хорошим начальным приближением для последующего слоя, точность начального условия может также оказать существенное влияние на итерируемое решение уравнения Пуассона. Сошедшееся рещение г)"+ на новом слое по времени отличается от г)" только за счет источникового члена и за счет граничных условий для г). Если А достаточно мало или если сходимость по времени нестационарной задачи в целом почти достигнута, то "+ " и if+i да if" на границах (Для задач, подобных задаче о течении внутри замкнутой прямо-



3 5!. Численное интегрирование 275

угольной области с подвижной стенкой, if фиксировано вдоль всех границ и в течение всего времени.) Тогда выбор решения if" в качестве начального приближения (il)"+)*~° будет очень эффективным. Действительно, если сходимость для вихря почти достигнута, то для функции тока критерий сходимости - ij)*l<s часто удовлетворяется за одну итерацию, так что применяемый метод автоматически сводится к непрерывным замещениям, как в случае расчета стационарных течений с помощью итераций.

Линч и Райе [1968] показали, что для неявных схем метода чередующихся направлений скорость сходимости выше в случае гладких ошибок в начальных данных. На практике это обычно выполняется, поскольку гладкими являются и окончательное решение, и начальное приближение (включая случай -ф = 0).

Точность начальных условий может играть более важную роль в случае сверхзвуковых течений, где плохие начальные данные могут привести к распространению паразитных волн.

3.5. Расчет давления

Одно из преимуществ работы с уравнениями, описывающими течение несжимаемой жидкости, заключается в том, что здесь число зависимых переменных может быть уменьшено. Давление исключается из уравнений количества движения в переменных {и, V, Р) при помощи перекрестного дифференцирования, как в разд. 2.2. Теперь мы будем находить поле давления по известному численному решению для и .

Уравнение для давления представляет собой уравнение Пуассона и аналогично уравнению для функции тока. Однако при его решении методом последовательной верхней релаксации возникают значительные трудности из-за иного типа граничных условий, которые ставятся в этом случае.

3.5.1. Численное интегрирование для определения давления

Уравнения (2.1) - (2.3), записанные в безразмерных переменных (см. первое упражнение в разд. 2.4), имеют вид

ди , ди , ди дР , I ,г, г-Аг. \

l + «t + »l7=-f + irV4 (3,50ЭД

где Р - безразмерное давление:

P = p/(pUl). (3.510)



Чтобы определить поле давления, расчет можно начинать с произвольной точки, принимая в ней произвольное характерное значение Р (постоянная интегрирования); дискретизирован-ные уравнения (3.509), содержащие дР/дх и дР/ду, интегрируются численно, причем составляющие скорости вычисляются по известному рещению для функции тока. (Такой подход применяли многие авторы, в частности Кавагути [1965], Пирсон [1965а], Бургграф [1966], Хын и Макано [1966],Томан и Шевчик [1966], Римон и Чен [1969], Лаван с соавторами [1969], Сон и Ханратти [1969], Маслях и Эпщтейн [1970], Шавит и Лаван [1971].) Если интересуются только давлением на поверхности тела, как, например, при определении коэффициента сопротивления, то такой метод может оказаться приемлемым. Расчет давления на поверхности удобно проводить при помощи легко выводимого соотнощения (см. задачу 3.32)

(3.511)

где п и S -нормаль и касательная к поверхности (см. Пирсон [1965а]). Полное описаиие трудностей, возникающих при численной реализации этого способа, можно найти в работе Мас-ляха и Эпщтейна [1970]. Но, вообще говоря, если интегрирование вести по различным путям до одной и той же точки, данный способ приводит к различным результатам. Такое различие частично обусловлено ошибками при вычислении функции тока Но даже если во всех узловых точках известно точное рещение для функции тока if, интегрирование по различным траекториям будет приводить к разным результатам из-за ошибок, допущенных при численной квадратуре). Далее заметим, что в уравнении (3.509) интегрируются частные производные скорости, для расчета которых требуется двукратное дифференцирование численно найденного поля функции тока, что обычно приводит к снижению точности. Этот способ особенно чувствителен к ошибкам в задачах, подобных задаче, представленной на рис. 3.22, когда путь иитегрирования проходит вблизи от угловой точки.

3.6.2. Уравнение Пуассона для давления

Более точное решение можно найти, интегрируя уравнение Пуассона для давления, которое получается следующим образом.

) Такое интегрирование известной функции f{x,y) по двум независимым переменным Бакингем [1962] называет «кубатурой».



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [ 87 ] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199