Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [ 86 ] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) Этот прием известен под названием «экстраполяция к пределу», «продолженный подход к пределу» и «итерационная экстраполяция».

на грубой сетке; иной раз это возможно, но такая практика опасна. Например, Бургграф [1968], решая задачу о течении жидкости внутри замкнутой прямоугольной области с подвижной стенкой, обнаружил противоположные тенденции в движении центра вихря в зависимости от числа Re для решений, полученных на грубой и мелкой сетках.

Стоит отметить, что скорость сходимости решения в случае схем второго порядка точности с ошибкой аппроксил1ации О (А) подчиняется квадратичному закону, а в случае схем первого порядка точности с 0(A) - линейному закону, поэтому о реальной сходилюсти легче судить в случае схем второго порядка точности.

Здесь стоит вспомнить о известном способе, называемое экстраполяционным методом Ричардсона) (Ричардсон [1910] Шортли и Уэллер [1938]; Сальвадори и Барон [1961]) и слу жащем для оценки окончательной аппроксимационной сходи мости разностного решения в схемах второго порядка точности Пусть % - истинное решение дифференциального уравнения в частных производных с вычислительными граничными условиями, т. е. = Ит ЦЛ). Тогда ошибка, допущенная в решении

(Ai) в некоторой точке {xuyi,t\), может быть записана в виде ряда Тейлора

Ei = Z-t (i) = аА] + &А,Ч .... (3.506)

Если A2 = (l/p)Ai, где р - некоторое целое число, то можно получить разностное решение ?(А2) в той же точке Xi, у\, t\ и записать ошибку в виде

£2 = С-(А2)=аЛ2 + &А2 + ... . (3.507)

Исключая из этих двух разложений а, получаем аппроксимацию более высокого порядка:

- (2) - + о {A\tu, АО (3.508а)

и при Аг == Ai/2 имеем

(А2) - 7зI (А,) + О(Д*). (3.5086)

Неудобство, связанное с этим методом, заключается в том, что практически нет ни путей для нахождения коэффициентов при А"* и при членах более высокого порядка, ни способов



) Аппроксимационная сходимость с достоверностью монотонна для уравнения Лапласа Уф = О и для простого уравнения диффузии dydt = = aV?, но необязательно для уравнения Пуассона или для нелинейного уравнения с конвективными и диффузионными членами Другие ссылки по применению экстраполяционных методов для дифференциальных уравнений в частных производных можно найти в работе Бёрджеса [1971] п в разд 5 8 настоящей книги Шёнхерр и Черчилл [1970] рассмотретп чкстрчпопяпию нестационарных решений к стационарному пределу для >равне11ия диффузии; Штеттер [1970] рассмотрел экстраполяцию Ричардсона для жестких уравнений.

установить, является ли сходимость монотонной по Д). Если сходимость не монотонна, то экстраполяция Ричардсона может привести к оценке , худшей чем t(Ai)- Экстраполяционные методы могут привести также к увеличению как ошибок округления (Бёрджес [1971]), так и ошибок в итерационном процессе.

Для того чтобы оценить аппроксимациопную сходимость решения по шагу сетки, не меняя этого шага, можно провести пересчет задачи по схеме другого порядка точности. Том и Апельт [1961] предложили при Дл; = Аг/ пересчитывать оператор Лапласа (Vif в уравнении Пуассона и V/Re в уравнении переноса вихря) при помощи оператора, построенного на пятиточечном диагональном шаблоне (см. разд. 3.2.10), который имеет порядок точности 0(-\/2Л), или при помощи других шаблонов для лапласиана. Пересчет с помощью схем первого, второго и четвертого порядка точности, рассмотренных в разд. 3.1, предполагает то же самое. Заметим, что соответствующим образом должен быть изменен и порядок точности граничных условий. В опубликованных работах по вычислительной гидродинамике такой подход не использовался.

Важное замечание о аппроксимационной сходимости сделал Чен [1968, 1970]. Даже если и удается найти предел lim ЦА)

л->о

или добиться выполнения равенства (Дг) = C(Ai)+е при произвольно малом е, для задач внешнего обтекания может проявиться эффект вычислительных граничных условий. Строго говоря, необходимо также проверять сходимость в интересующей нас области, когда «бесконечно удаленные» границы (верхняя, нижняя, входная и выходная) отодвигаются от этой области. Проверка сходимости только по шагу сетки или при помощи методов более высокого порядка не дает информации для установления сходимости в смысле уменьшения влияния границ.

В этой связи стоит упомянуть работу Гамилеца и Рааля [1969]. Они решали задачу об обтекании кругового цилиндра в полярной системе координат с разностной сеткой, постираю-щейся до г = гь\ все граничные условия, соответствующие «бесконечно удаленной» границе, ставились на окружности такого



) Если это не так, то устойчивость метода в целом можно повысить за счет уменьшения Л/ иа начальной стадии расчета (Бао н Догерти [1969]).

радиуса. Расчеты проводились при двух значениях гь; предполагая, что скорость сходимости подчиняется квадратичному закону, эти авторы оценили коэффициент сопротивления кругового цилиндра при помощи экстраполяционного метода Ричардсона, проводя экстраполяцию до \/гь = 0.

Другую информацию об ошибках аппроксимации можно получить 1) вычисляя ошибки, связанные с нарушением свойства консервативности (см.-разд. 3.1.3) для неконсервативных схем, 2) вычисляя контурный интеграл от дЦдп по кривой, охватывающей границу тела (см. задачу 3.32), и 3) сравнивая два значения для давления в угловой точке контура тела (см. разд. 3.5.2).

Если для нахождения стационарного решения полной задачи о течении несжимаемой жидкости применяются нестационарные двухслойные схемы и если в итерационном процессе для нахождения г)*+ и (Сш"*") используются неявные достаточно хорошо сходящиеся ) методы, то начальные условия будут несущественны. (Начальные условия, очевидно, определяют начальное нестационарное решение, но даже это влияние экспоненциально затухает по времени, см., например, Бёрдсли [1969].)

Далее, начальные условия обычно не оказывают существенного влияния на требуемое для расчета машинное время, хотя многие исследователи предполагают противоположное. Начальные условия слабо влияют на требуемое машинное время, поскольку ошибки для выбираемого начального приближения обычно ограничены и по величине на много порядков превосходят величину, входящую в критерий сходимости. Например, если безразмерный расход в канале нормирован так, что 1фтгх = = 0(1), то начальное приближение = О во всех внутренних точках будет давать ошибку только порядка 0(1). Очень хорошее начальное приближение для поля течения с отрывом в расширяющемся канале может давать ошибки в величине f° порядка 0(10-). Однако если в критерии сходимости взять величину е = 10", то улучшение будет незначительным.

Для лучшего понимания процесса сходимости следует помнить, что при расчете течений с большими числами Re ошибка в значении вихря в единственной узловой точке вблизи входной границы и вне пограничного слоя должна за счет конвекции уноситься из рассчитываемой области. Тогда нужное для сходимости число шагов по времени будет ограничено снизу величиной п = т/А/, где т - время переноса частицы из указанного положения через всю рассчитываемую область. Это



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [ 86 ] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199