Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [ 85 ] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

где 1 = ЦПо/Е), для задач с преобладающей конвекцией (Re» 1) или критерий

-П-и/1< (3.5046)

где f = J{vlL)= t/He, для задач с преобладающей диффузией (Re 1); см. разд. 2.4. Точно так же сообщение, что решение получено при п = 1000, несет меньше информации, чем указание для этого решения максимальных значений t или t, которые, конечно, зависят от принятой в методе величины А.

критерию, основанному на величине вида 1"+" -", где р - некоторое четное число.

(4) Скорость сходимости различна как для разных функций, описывающих течение, так и для одной и той же функции в разных точках области течения. Если известна функция с наименьшей скоростью сходимости итераций, то проверку можно проводить только по этой функции; в противном случае следует проверять все переменные. (Обычно скорость сходимости для вихря Х меньше, чем для составляющих вектора скорости, для которых в свою очередь скорость сходимости меньше, чем для функции тока г), из-за операции дифференцирования.)

Рискованно также проводить проверку по какой-либо переменной только в одной точке: параметры течения в разных областях задачи могут сходиться с существенно различными скоростями. Например, при использовании стационарных методов с «комбинированными итерациями» (см. разд. 3.1.22) было обнаружено (Текстор [1968], Текстор с соавторами [1969]), что скорость сходимости для функции г)"+ меньше, чем для вихря t"+; противоположное явление наблюдается при использовании нестационарных методов. В задаче об отошедшей ударной волне давление в точке торможения сходится гораздо медленнее плотности в той же точке, а это означает, что в качестве переменной для проверки сходимости не следует брать плотность.

(5) Величина в должна зависеть от величины шага сетки; если шаг сетки уменьшается, то соответственно должно уменьшаться в.

(6) В формулировке любого утверждения, относящегося к критерию достижения стационарного значения 1, (как долго решение должно устанавливаться или какой критерий по е должен выполняться), лучше использовать соответствующее физическое время t, а не номер итерации п. Например, критерий (3.501) может выполняться на любой стадии расчета и при любом Б просто за счет выбора достаточно малого Более осмыслен критерий

?U (3.504а)



Сон и Ханратти [1969] оценивали стационарное значение коэффициента сопротивления для сферы, графически представляя зависимость Со от l/«max и экстраполируя на 1/тах = 0.

Никаких подробностей, касающихся экстраполяции, они не приводили, но в действительности проведение такой экстраполяции по лекалу или «на глазок», вероятно, так же справедливо, как п любая другая процедура, хотя ни одна из этих процедур неповторима.

(7) Наконец, сходимость численного метода в целом, включая расчет граничных точек, особенно рекомендуется проверять на крайне грубой сетке, но с такой точностью рещения, которую допускает длина мащинного слова. Использование грубой сетки с несколькими стандартными внутренними точками обычно позволяет получить рещение с «мащинной» точностью за приемлемое время. Затем тест может быть повторен с существенно отличными начальными условиями и желательно с «противоположным» первому случаю направлением счета в итерационном процессе. Если два таких рещения согласуются, то можно утверждать (хотя и не строго, но по крайней мере с чистой совестью), что данный метод сходится.

Имеются и некоторые другие способы проверки сходимости, которые целесообразно рассматривать для каждой задачи. Том [1933], а также Том и Апельт [1961] предложили критерий сходимости, основанный на величине «невязки» (см. разд. 3.2.3 и 3.2.4). Вообще говоря, даже для линейных уравнений такой тип проверки может оказаться ненадежным; ш. Форсайт [1970[. Браун [1967] отметил, что в задаче тепловой конвекции температуры и скорости переноса тепла (которые представляют наибольший интерес) сходились задолго до того, как сходились скорости течения; убедившись в сходимости по скоростям, в дальнейшем он мог прекращать итерационный процесс раньше, как только устанавливалось поле температур.

Брили [1970] проверял сходимость итераций для (if"+)"*" при решении уравнения Пуассона, определяя значение вихря на стенке tt, на каждой итерации if и проверяя выполнение условия А*а; < 8. Этот чувствительный и рациональный тест для if обладает также и тем преимуществом, что алгоритмически вычисления имеют такой же вид, как в тесте для расчета неявного граничного условия на стенке < 62. Для того чтобы этот второй тест имел смысл, очевидно, должно выполняться условие 8 < ег; Брили [1970] положил ei = /262-

Роуч и Мюллер [1970] наряду с другими авторами обнаружили, что существенный выигрыш машинного времени может быть достигнут за счет применения грубой величины критерия, скажем е=10-"*, при решении уравнения Пуассона на



) Предположим, например, что йщах == 50, и допустим, что итерационный процесс при решении уравнения Пуассона на слое по времени п = 1000 сходился при kcf = 18 итераций. Тогда р = 1 -f (50-f 18)/4 = 18, поэтому уравнение Пуассона для г) можно не решать заново вплоть до слоя п - 1018.

существенно нестационарном этапе и последующего его умень-щения до 10- при подходе к стационарному рещению.

Другой общепринятый прием заключается в том, чтобы итерационный процесс для уравнения Пуассона заканчивать либо тогда, когда max г1)*+ - j 1 "Р й > йтах, полагая,

возможно, femax = 50. Торранс [1968] применил этот прием и отметил, что при приближении к стационарному рещению критерий итерационной сходимости для уравнения Пуассона легко удовлетворялся при k < йтах- Далее он вновь рещал уравнение Пуассона только на (п--р)-м слое по времени, где р л; 1 + (femax + йсх)/4, причем йсх -число итераций k, требо-вавщихся для сходимости рещения уравнения Пуассона при предыдущем его итерировании на слое п). Следовательно, поле скорости при рещении уравнения переноса внхря остается «замороженным» в течение р щагов по времени, что приводит к существенной экономии мащинного времени.

Многие из сделанных выще замечаний о итерационной сходимости приложимы также и к понятию аппроксимационной сходимости. После того как на разностной сетке с величиной щага А] получено рещение конечно-разностного уравнения, можно рассчитать другое рещение на сетке с Ад = Ai/2, где А] может быть любой из величин Ах, Ау и А (если эти величины равны, то им равна и Ai). Затем сходимость проверяется по равенству

S(A2) = S(A,) + 8 (3.505)

н т. п. Конечно, о сходимости можно судить по графику, изображающему рещение в зависимости от А или от 1/А. Далее вычисляется разность между (Аг) и (Ai), и она служит той величиной, по которой можно судить о сходимости, но это суждение остается субъективным. Выбор величин е обычно определяется имеющимся машинным временем и объемом памяти машины.

Как правило, при решении дифференциальных уравнений в частных производных нерационально уменьшать величину шага сетки даже до величины Аз = Ai/4; в действительности обычно рассчитывается только одно решение; оно и публикуется- хорошее ли оно или плохое. Было бы прекрасно, если бы мы могли с уверенностью хотя бы качественно представить поведение параметров течения исходя из решения, полученного



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [ 85 ] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199