Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

рассчитываемое при помощи итераций. Этот термин означает, что достигается приемлемое решение дискретного уравнения Пуассона в пределах некоторой точности, для чего требуется выполнение в известном смысле равенства г)*+ ж г)*. Он означает также, что при разрешении при помощи итераций неявного граничного условия для вихря t достигается выполнение равенства (+)(5+)*. Оба эти итерационные процессы включаются в итерационный цикл, сходимость итераций в котором приводит к стационарному решению (если оно существует), когда выполняется равенство "+ » Другое значение термина «сходимость» относится к обычно используемому математиками понятию сходимости, которую здесь мы будем называть аппроксимационной сходиностью для того, чтобы отличить ее от итерационной сходимости. Апироксимационная сходимость есть не что иное, как сходимость решения конечно-разностного уравнения к решению дифференциального уравнения в частных производных при Ax->0, А/->-0.

Ни для итерационной сходимости, ни для аппроксимационной сходимости не имеется какого-либо определенного критерия.

Обычно в качестве критерия итерационной сходимости, например для достижения стационарного значения t,, берется условие вида

тах;+-<8 (3.501а)

и аналогичные условия для функции тока г)*+ и (S"*")*". Часто в критерии итерационной сходимости фигурирует относительная ошибка

f.n+\ f-n

,- <8, (3.5016)

где tr - некоторое характерное для задачи значение t,- или = max I J. , или просто = ?"у. Последний критерий имеет

больше смысла, но, очевидно, несколько опасен, так как локально (в некоторых точках) значения t, могут оказаться близкими к нулю, что в свою очередь может привести к переполнению в арифметическом устройстве ЭМВ при делении в формуле (3.5016). Значение е, входящее в условие (3.501), в опубликованных открытых работах меняется от 10" до 10, откуда можно понять, что в целом идея не очень рациональна, и в действительности дело обстоит именно так. Величину е в условии (3.501) можно выбрать сколь угодно малой, однако если решение ведет себя так, как показано иа рис. 3.32. то при этом возможно преждевременное приостановление итерационного процесса. Такое поведение не столь уж редко встречается



при решении полной системы уравнений для г) и f. см., например, Ингэм [1968]. (Решение уравнения эллиптического типа обычно ведет себя лучше.) Можно попытаться избежать преждевременного окончания итерационного процесса, введя в расчеты еше критерий для второй производной следуюшего вида:

i, i

(3.502a) (3.5026)

и/или проводя контроль через несколько итераций, например по критерию

i. I

<е.

(3.503)

Но ни один из этих критериев не может заменить фактического анализа итерационого процесса по графикам, отражающим его

t ипи п

t ШШП

Рис. 3.32. Зависимость от времени некоторых характеристик решения задачи о течении вязкой жидкости в области с заданными входной и выходной границами, а - по оси ординат отложена величина max - ; б - по

оси ординат отложена величина , или S" у .

поведение (рис. 3.32), и субъективного суждения о его сходимости. Большинство исследователей выбирают численное значение 8, соответствующее их субъективным суждениям о сходимости, и при публикации приводят только величину е. В действительности они удовлетворяются тем, что исследуют графики, подобные представленным на рис. 3.32, и убел<даются



в сходимости принятой ими процедуры, а затем выбирают е исходя из имеющегося в их распоряжении машинного времени!

Чтобы прийти к определенному выводу, введем следующие дополнительные обозначения. Пусть - (точное) решение дифференциального уравнения в частных производных, t - точное решение конечно-разностного уравнения, == Ит в итера-

ционном процессе, а *+ - итерированное значение, при котором выполняется критерий сходимости. Заметим (Парис и Уитекер [1965]), что не обязательно равно так как t,°° получается при помощи итерационной процедуры, в которой возможно систематическое накопление ошибок округления. Таким образом в нашем критерии сходимости дается ограничение на но не накладывается каких-либо ограничений на величину - °°, а поэтому и на величину - tl- Далее, нас интересует ограничение на величину -fl, которая должна входить в критерий аппроксимационной сходимости и столь же неопределенна, как и все остальные величины в рассмотренной последовательности.

Существует семь неотъемлемых требований, которые необ-:ходимо учесть при попытке сформулировать критерий итера-цконной сходимости.

(1) Отметим, что хотя предпочтительнее анализировать графики, дающие поведение итерационного процесса, наподобие рис. 3.32, необходимо также проверять выполнение количествен-iHoro критерия, подобного критериям (3.501) и (3.503), как во внутреннем итерационном процессе при решении уравнения Пуассона для г)*+, так и в итерационном процессе для неявного расчета значений (*+")* на стенке. Вопрос об адекватности этого критерия можно субъективно решить заранее, контролируя поведение итерационного процесса для двух таких задач, но при решении задачи в целом не имеет практического смысла следить за чем-либо иным, кроме сходимости рещения 1п0 времени. (Привлекательность прямых методов решения уравнения Пуассона связана с тем, что здесь не нужно мучиться с выбором критерия сходимости.)

(2) Отметим, что для проверки сходимости по критерию вида (3.501) требуется определенное машинное время и для сокращения этого времени проверку следует осуществлять только через 10 или через какое-либо другое число итераций для aj), как в случае критерия (3.503).

(3) Если для сходимости t,"- проводится количественная проверка, то должна быть учтена возможность неустойчивости, связанной с расчленением решения во времени; такую неустойчивость нельзя обнаружить при проверке сходимости по любому



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199